Bài viết này khám phá các hàm nguyên (entire functions) trong phân tích phức, tập trung vào tốc độ tăng trưởng của chúng. Chúng ta sẽ tìm hiểu câu hỏi: liệu có tồn tại các hàm nguyên không hằng số nào tăng trưởng chậm hơn hàm f(z) = z? Việc hiểu rõ về tốc độ tăng trưởng này rất quan trọng trong việc phân loại và ứng dụng các hàm nguyên. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn sâu sắc về chủ đề này, đồng thời đề cập đến các khái niệm liên quan như định lý Liouville và các định lý quan trọng khác.
Một hàm nguyên (entire function), còn được gọi là hàm chỉnh hình toàn cục (integral function), là một hàm giá trị phức chỉnh hình (holomorphic) trên toàn bộ mặt phẳng phức. Điều này có nghĩa là hàm có đạo hàm tại mọi điểm trong mặt phẳng phức. Các ví dụ điển hình bao gồm các đa thức, hàm mũ (exponential function), và các hàm được tạo thành từ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, hợp thành của chúng.
Ví dụ, các hàm lượng giác như sin(z) và cos(z) cũng là các hàm nguyên. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các hàm như log(z) và √z *không phải* là các hàm nguyên, vì chúng không chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức.
Câu hỏi đặt ra là: liệu có tồn tại các hàm nguyên không hằng số nào mà tốc độ tăng trưởng của chúng chậm hơn f(z) = z? Nói cách khác, chúng ta đang tìm kiếm một hàm g(z) sao cho |g(z)| tăng trưởng chậm hơn |z| khi |z| tiến tới vô cùng. Rõ ràng, các hàm hằng số có tốc độ tăng trưởng bằng 0, nhưng chúng ta quan tâm đến các hàm không hằng số.
Ví dụ về các hàm có tốc độ tăng trưởng khác nhau bao gồm: hàm f(z) = z (tăng trưởng tuyến tính), và hàm exp(z) (tăng trưởng mũ - nhanh hơn nhiều). Câu hỏi là liệu có thể "chen" một hàm nguyên không hằng số nào đó vào giữa hai mức tăng trưởng này hay không?
Định lý Liouville đóng một vai trò quan trọng trong việc trả lời câu hỏi này. Định lý này phát biểu rằng: Mọi hàm nguyên bị chặn đều là hàm hằng số. Điều này có nghĩa là, nếu tồn tại một số M sao cho |f(z)| ≤ M với mọi z trong mặt phẳng phức, thì f(z) phải là một hằng số.
Một hệ quả của định lý Liouville là: mọi hàm nguyên không hằng số đều không bị chặn. Điều này có nghĩa là |f(z)| phải tiến tới vô cùng khi |z| tiến tới vô cùng. Tuy nhiên, nó không nói gì về *tốc độ* mà nó tiến tới vô cùng.
Một kết quả quan trọng liên quan đến tốc độ tăng trưởng là: nếu tồn tại các hằng số C và R sao cho |f(z)| ≤ C|z| với mọi |z| > R, thì f(z) phải là một hàm tuyến tính (có dạng f(z) = az + b). Điều này có nghĩa là, nếu một hàm nguyên tăng trưởng chậm hơn hoặc bằng tốc độ của z "ở vô cùng", thì nó thực chất là một hàm tuyến tính. Do đó, không có hàm nguyên không tuyến tính nào có thể tăng trưởng chậm hơn z.
Tổng quát hơn, nếu tồn tại các hằng số M, R, và n sao cho |f(z)| ≤ M|z|^n với mọi |z| ≥ R, thì f(z) phải là một đa thức có bậc tối đa là n. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tốc độ tăng trưởng của một hàm nguyên và bậc của đa thức tương ứng.
Tóm lại, không tồn tại hàm nguyên không hằng số nào tăng trưởng chậm hơn f(z) = z một cách đáng kể. Nếu một hàm nguyên tăng trưởng chậm hơn hoặc bằng |z| "ở vô cùng", thì nó phải là một hàm tuyến tính. Điều này là một kết quả quan trọng trong phân tích phức, cho thấy sự hạn chế về tốc độ tăng trưởng của các hàm nguyên. Định lý Liouville và các kết quả liên quan cung cấp các công cụ mạnh mẽ để phân tích và hiểu rõ về các hàm nguyên và tính chất của chúng.
Bài viết liên quan