Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn học sinh THCS cách giải một bài toán **cực trị hàm số** mà không cần sử dụng đến kiến thức đạo hàm, một công cụ thường thấy ở chương trình học phổ thông. Chúng ta sẽ tập trung vào việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) và các kỹ thuật biến đổi đại số để tìm ra giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức.
Tìm GTLN của biểu thức: f(x) = 5x4 - x6
Biểu thức này có vẻ phức tạp để áp dụng trực tiếp các phương pháp của THCS. Tuy nhiên, chúng ta có thể nhận thấy sự xuất hiện của các số mũ chẵn, gợi ý đến việc sử dụng các **bất đẳng thức** và **kỹ thuật đại số** để đơn giản hóa.
Để sử dụng AM-GM, chúng ta cần biến đổi biểu thức về dạng tổng của các số dương. Nhận thấy rằng GTLN xảy ra khi x ≠ 0, ta có thể viết:
f(x) = x4(5 - x2)
Đặt y = x2 (y > 0), ta có bài toán trở thành tìm GTLN của: g(y) = y2(5 - y) = 5y2 - y3
Để áp dụng AM-GM, ta cần tách 5y2 thành tổng của các số hạng sao cho tích của chúng là một hằng số. Một cách tiếp cận là:
5y2 = (5/2)y2 + (5/2)y2
Khi đó: g(y) = (5/2)y2 + (5/2)y2 + (-y3)
Tuy nhiên, cách này không hiệu quả vì có số hạng âm. Thay vào đó, ta cần một cách tách khác để loại bỏ số âm và đảm bảo các số hạng đều dương. Ta có thể viết như sau:
g(y) = y2(5 - y) = 4 . (y/2) . (y/2) . (5-y)
Áp dụng AM-GM cho 4 số: y/2 , y/2 , (5-y)/3 và (5-y)/3 , (5-y)/3 ta được:
√(4 . (y/2) . (y/2) . (5-y) . (5-y) . (5-y)) <= ((y/2)+(y/2)+(5-y)/3+(5-y)/3+(5-y)/3)/5
=> 4 . (y/2) . (y/2) . (5-y) . (5-y) . (5-y) <= ((5/3)/3) 3 (vì tổng ((y/2)+(y/2)+(5-y)/3+(5-y)/3+(5-y)/3 không đổi)
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM và các kỹ thuật đại số phù hợp, chúng ta có thể giải quyết các bài toán **cực trị** phức tạp mà không cần đến kiến thức đạo hàm, giúp học sinh THCS tiếp cận và giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Bài viết liên quan