Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách chứng minh một hàm số cụ thể là khả vi tại một điểm, nhưng không phải là hàm C1 trong bất kỳ lân cận nào của điểm đó. Chúng ta sẽ xem xét hàm số f(x, y) = (x2 + y2)sin(1/(x2 + y2)) và chứng minh rằng nó khả vi tại (0, 0) nhưng không liên tục C1 trong bất kỳ lân cận nào của (0, 0). Việc hiểu rõ những khái niệm này rất quan trọng trong giải tích nhiều biến và giúp bạn nắm vững các tính chất của hàm số. Nếu bạn đang gặp khó khăn với các khái niệm **đạo hàm riêng**, **tính khả vi**, và **tính liên tục C1**, bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu.
Trước khi đi vào chứng minh cụ thể, hãy cùng nhau ôn lại một số khái niệm quan trọng. Một hàm số f(x, y) được gọi là **khả vi** tại một điểm (a, b) nếu nó có thể được xấp xỉ tuyến tính tốt trong lân cận của điểm đó. Điều này có nghĩa là sự thay đổi của hàm số có thể được biểu diễn gần đúng bằng một tổ hợp tuyến tính của các thay đổi của các biến độc lập. Nói cách khác, tồn tại một phép biến đổi tuyến tính L sao cho sai số của phép xấp xỉ tuyến tính tiến tới 0 nhanh hơn so với khoảng cách đến điểm (a, b).
Một hàm số được gọi là **liên tục C1** nếu các đạo hàm riêng của nó tồn tại và liên tục. Điều này có nghĩa là không chỉ hàm số phải có đạo hàm tại mọi điểm, mà các đạo hàm này cũng phải thay đổi một cách mượt mà, không có bước nhảy đột ngột. Tính liên tục C1 mạnh hơn so với tính khả vi đơn thuần, vì nó yêu cầu thêm điều kiện về tính liên tục của các đạo hàm.
Xét hàm số f(x, y) được định nghĩa như sau:
Để chứng minh f(x, y) khả vi tại (0, 0), ta cần chứng minh rằng tồn tại một phép biến đổi tuyến tính L sao cho:
lim(h1, h2) → (0, 0) [f(h1, h2) - f(0, 0) - L(h1, h2)] / ||(h1, h2)|| = 0
Trong trường hợp này, ta có thể chọn L là phép biến đổi tuyến tính zero, tức là L(h1, h2) = 0. Khi đó, biểu thức trên trở thành:
lim(h1, h2) → (0, 0) [(h12 + h22)sin(1/(h12 + h22))] / √(h12 + h22) = 0
Do |sin(x)| ≤ 1 với mọi x, ta có:
|[(h12 + h22)sin(1/(h12 + h22))] / √(h12 + h22)| ≤ √(h12 + h22)
Khi (h1, h2) → (0, 0), √(h12 + h22) → 0. Do đó, giới hạn trên bằng 0, và ta kết luận rằng f(x, y) khả vi tại (0, 0).
Để chứng minh f(x, y) không phải là C1 trong bất kỳ lân cận nào của (0, 0), ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong các đạo hàm riêng của f(x, y) không liên tục tại (0, 0).
Tính các đạo hàm riêng:
Xét đạo hàm riêng ∂f/∂x. Ta sẽ chứng minh rằng giới hạn của ∂f/∂x khi (x, y) tiến tới (0, 0) không tồn tại.
Chọn dãy (xn, yn) = (1/√n, 0). Khi n → ∞, (xn, yn) → (0, 0). Khi đó:
∂f/∂x(xn, yn) = (2/√n)sin(n) - 2√n cos(n)
Giới hạn của biểu thức này khi n → ∞ không tồn tại, do hàm cos(n) dao động giữa -1 và 1. Tương tự, ta có thể chứng minh rằng giới hạn của ∂f/∂y khi (x, y) tiến tới (0, 0) cũng không tồn tại.
Vì ít nhất một trong các đạo hàm riêng của f(x, y) không liên tục tại (0, 0), ta kết luận rằng f(x, y) không phải là C1 trong bất kỳ lân cận nào của (0, 0).
Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh rằng hàm số f(x, y) = (x2 + y2)sin(1/(x2 + y2)) khả vi tại (0, 0) nhưng không liên tục C1 trong bất kỳ lân cận nào của (0, 0). Ví dụ này minh họa rằng tính khả vi không đảm bảo tính liên tục của các đạo hàm riêng. Việc hiểu rõ sự khác biệt giữa các khái niệm này là rất quan trọng trong giải tích nhiều biến và giúp bạn phân tích chính xác các tính chất của hàm số. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn sâu sắc hơn về **tính khả vi** và **liên tục C1**.
Bài viết liên quan