Bài viết này khám phá một bài toán thú vị trong lĩnh vực giải tích thực liên quan đến tính trù mật của một tập hợp số đặc biệt. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu θ là một số vô tỷ, thì tập hợp các phần lẻ của bội số lẻ của θ sẽ trù mật trong khoảng [0, 1]. Điều này có nghĩa là, bất kỳ số nào trong khoảng [0, 1] cũng có thể được xấp xỉ bởi một phần lẻ của một bội số lẻ của θ. Chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm liên quan và trình bày một chứng minh dễ tiếp cận.
Trước khi đi vào chứng minh, hãy cùng nhau làm rõ một số định nghĩa và khái niệm then chốt:
Như vậy, bài toán đặt ra là: Cho θ ∈ R \ Q (θ là số thực nhưng không hữu tỷ). Chứng minh tập hợp {⟨(2k−1)θ⟩: k ∈ N} trù mật trong [0, 1]? (N là tập hợp các số tự nhiên).
Một cách tiếp cận phổ biến để chứng minh tính trù mật là sử dụng một công cụ mạnh mẽ gọi là tiêu chí Weyl. Tuy nhiên, chúng ta sẽ cố gắng đưa ra một chứng minh cơ bản hơn, không đòi hỏi kiến thức về lý thuyết phân bố đều.
Chúng ta đã biết một kết quả quan trọng: Nếu θ là một số vô tỷ, thì tập hợp {⟨kθ⟩: k ∈ N} trù mật trong [0, 1]. Bây giờ, chúng ta cần chứng minh điều tương tự cho tập hợp các bội số lẻ.
Ý tưởng: Sử dụng kết quả đã biết về tính trù mật của bội số nguyên để suy ra tính trù mật của bội số lẻ. Ta có thể biểu diễn (2k-1)θ = 2kθ - θ. Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng {⟨2kθ⟩} cũng trù mật, và sau đó "dịch" tập hợp này đi một lượng θ (một cách khéo léo), chúng ta có thể suy ra được kết quả mong muốn.
Để làm rõ hơn, ta sẽ cần chứng minh một vài bổ đề nhỏ. Điều quan trọng là phải nhớ rằng θ là một số vô tỷ.
Một cách tiếp cận khác, có phần ngắn gọn hơn, xuất phát từ tính chất sau của phần lẻ: ⟨x + y⟩ = ⟨⟨x⟩ + ⟨y⟩⟩. Từ đó, ta có thể viết:
{⟨(2k + 1)θ⟩: k ∈ Z} = {⟨2kθ⟩: k ∈ Z} + ⟨θ⟩. Vì 2θ cũng là một số vô tỷ (nếu θ là vô tỷ), thì {⟨2kθ⟩: k ∈ Z} trù mật trong [0, 1]. Do đó, việc "dịch" tập hợp trù mật này đi một lượng ⟨θ⟩ cũng sẽ tạo ra một tập hợp trù mật.
Lưu ý quan trọng: Cần cẩn thận khi làm việc với các phép "dịch" này, vì chúng ta đang làm việc với phần lẻ, chứ không phải các số thực trực tiếp. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản là hoàn toàn chính xác.
Kết quả này, mặc dù có vẻ trừu tượng, lại có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm:
Hơn nữa, bài toán này có thể được mở rộng để xem xét các tập hợp số phức tạp hơn, hoặc các hàm số khác thay vì phần lẻ. Đây là một ví dụ điển hình về cách một câu hỏi đơn giản có thể dẫn đến những khám phá sâu sắc trong toán học.
Bài viết liên quan