Số Nguyên Đại Số: Định Nghĩa, Tính Chất và Cách Xác Định Chi Tiết

Bạn đang học về lý thuyết số đại số và gặp khó khăn trong việc xác định một số có phải là số nguyên đại số? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về số nguyên đại số, định nghĩa, các tính chất quan trọng và các phương pháp để xác định một số có phải là số nguyên đại số hay không. Chúng ta sẽ đi từ những khái niệm cơ bản đến các ví dụ cụ thể, giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách dễ dàng.

Số Nguyên Đại Số Là Gì? Định Nghĩa Chi Tiết

Một số đại số là một số là nghiệm của một đa thức khác không với hệ số hữu tỷ (hoặc tương đương, hệ số nguyên). Một số nguyên đại số là một số đại số là nghiệm của một đa thức monic (đa thức có hệ số cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên. Nói một cách đơn giản, nếu bạn có thể tìm thấy một phương trình đa thức với các số nguyên mà số của bạn là một trong các nghiệm, và hệ số của số hạng bậc cao nhất là 1, thì bạn có một số nguyên đại số.

Các Tính Chất Quan Trọng Của Số Nguyên Đại Số

Số nguyên đại số có một số tính chất quan trọng giúp chúng ta dễ dàng làm việc với chúng hơn:

• Tính đóng dưới phép cộng, trừ và nhân: Tổng, hiệu và tích của hai số nguyên đại số cũng là một số nguyên đại số. Điều này có nghĩa là tập hợp các số nguyên đại số tạo thành một vành.
• Số hữu tỷ là số nguyên đại số khi và chỉ khi nó là số nguyên: Nếu một số hữu tỷ là nghiệm của một đa thức monic với hệ số nguyên, thì số hữu tỷ đó phải là một số nguyên. Ví dụ: 1/2 không phải là một số nguyên đại số vì nó không phải là một số nguyên.
• Vành các số nguyên đại số của một trường số: Cho K là một trường số (mở rộng hữu hạn của trường các số hữu tỷ Q). Khi đó, vành các số nguyên của K là vành con của K bao gồm tất cả các số nguyên đại số nằm trong K.

Cách Xác Định Một Số Có Phải Là Số Nguyên Đại Số

Có một vài phương pháp để xác định xem một số có phải là số nguyên đại số hay không:

Tìm Đa Thức Monic Với Hệ Số Nguyên

Cách đơn giản nhất là tìm một đa thức monic (hệ số cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên mà số đó là nghiệm. Ví dụ, xét số α = 1 + √2. Ta có thể thấy α - 1 = √2. Bình phương cả hai vế, ta được (α - 1)² = 2, hay α² - 2α + 1 = 2, do đó α² - 2α - 1 = 0. Vì đa thức x² - 2x - 1 là monic và có hệ số nguyên, α là một số nguyên đại số.

Kiểm Tra Đa Thức Tối Tiểu

Một cách khác là tìm đa thức tối tiểu của số đó trên trường số hữu tỷ. Nếu đa thức tối tiểu này có hệ số nguyên, thì số đó là một số nguyên đại số. Ví dụ: xét số α = (1 + √5)/2 (số vàng). Đa thức tối tiểu của α là x² - x - 1 = 0. Vì đa thức này có hệ số nguyên và là monic, α là một số nguyên đại số.

Sử Dụng Tính Chất Đóng

Nếu bạn biết một số là một tổ hợp cộng, trừ, nhân của các số nguyên đại số đã biết, thì số đó cũng là một số nguyên đại số. Điều này giúp bạn xây dựng các số nguyên đại số phức tạp từ những cái đơn giản hơn.

Ví Dụ Minh Họa

• √3: Là một số nguyên đại số vì nó là nghiệm của đa thức x² - 3 = 0.
• i (đơn vị ảo): Là một số nguyên đại số vì nó là nghiệm của đa thức x² + 1 = 0.
• (2 + √5)/3: Không phải là một số nguyên đại số. Đa thức tối tiểu của nó là 3x² - 4x - 1 = 0, nhưng để nó trở thành monic ta phải chia cho 3, khi đó không còn hệ số nguyên nữa.

Kết Luận

Hiểu rõ về số nguyên đại số là rất quan trọng trong lý thuyết số đại số và các lĩnh vực liên quan. Bằng cách nắm vững định nghĩa, các tính chất và phương pháp xác định, bạn có thể tự tin làm việc với các khái niệm phức tạp hơn. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một nền tảng vững chắc để tiếp tục khám phá thế giới thú vị của số học và đại số.