Bài viết này khám phá một kết nối thú vị giữa một bài toán cổ điển từ thời Tartaglia và các hệ phương trình phức tạp hơn xuất hiện gần đây. Chúng ta sẽ đi sâu vào cách các nghiệm phức, những con số tưởng tượng từng bị coi là vô dụng, lại có thể cung cấp lời giải cho những hệ phương trình mà nghiệm thực đơn thuần không thể. Nếu bạn đang tìm hiểu về lịch sử toán học, hoặc đơn giản là muốn khám phá sức mạnh của số phức, thì đây là bài viết dành cho bạn.
Vào năm 1535, Niccolò Tartaglia, một nhà toán học người Ý, đã tham gia một cuộc thi giải toán với Antonio Fiore. Một trong những bài toán mà Tartaglia phải đối mặt là giải phương trình bậc ba: r3 - 3r - 10 = 0. Phương trình này, thoạt nhìn có vẻ đơn giản, đã đặt ra một thách thức lớn cho các nhà toán học thời bấy giờ.
Điều thú vị là phương trình này có một nghiệm đẹp, liên quan đến đơn vị cơ bản U6 = 5 + 2√6. Nghiệm đó là: r = (5 + 2√6)1/3 + (5 - 2√6)1/3 ≈ 2.612887... Việc tìm ra nghiệm này đánh dấu một bước tiến quan trọng trong việc giải các phương trình bậc ba.
Gần 500 năm sau, vào năm 2023, một bài toán tương tự đã được đặt ra trên một diễn đàn toán học. Bài toán này liên quan đến việc giải hệ phương trình sau:
Hệ phương trình này có một nghiệm thực đơn giản là (a, b, c) = (1, 1, 1). Tuy nhiên, nếu chúng ta cho phép các nghiệm phức, một điều bất ngờ sẽ xảy ra: phương trình bậc ba của Tartaglia lại xuất hiện! Cụ thể, các nghiệm của phương trình bậc ba 5x3 + 5(r + 2)x2 + (r + 8)rx - r = 0, với r là nghiệm của r3 - 3r - 10 = 0, lại tạo ra một bộ nghiệm (a, b, c) cho hệ phương trình trên.
Ví dụ, nếu r1 ≈ 2.612887, thì ba nghiệm của phương trình bậc ba trong x sẽ cho ta một nghiệm phức của hệ phương trình ban đầu: (a, b, c) ≈ (0.087705, -2.35029 + 0.65911i, -2.35029 - 0.65911i). Điều này cho thấy rằng, đôi khi, để giải quyết một bài toán, chúng ta cần phải mở rộng phạm vi tìm kiếm của mình ra ngoài các số thực và khám phá thế giới của số phức.
Câu hỏi đặt ra là liệu hiện tượng này có thể được tổng quát hóa cho các hệ phương trình với nhiều biến hơn hay không. Hãy xem xét hệ phương trình tương tự với bốn biến:
an + bn + cn + dn + n(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) = 4(n + 1) với n = (1, 3, 5, 7). Hệ này có nghiệm đơn giản a = b = c = d = 1, nhưng cũng có thể được giải bằng các nghiệm phức của một phương trình bậc bốn, mà các hệ số của nó được xác định bởi phương trình bậc sáu r6 - 15r4 - 60r3 - 144r - 720 = 0.
Tương tự, cho hệ phương trình với năm biến: an + bn + cn + dn + en + n(1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e) = 5(n + 1) với n = (1, 3, 5, 7, 9), ta có thể đoán rằng các nghiệm phức (a, b, c, d, e) là nghiệm của một "phương trình bậc năm" mà các hệ số được xác định bởi một phương trình bậc mười.
Ví dụ này minh họa một cách tuyệt vời về sức mạnh và tính hữu ích của nghiệm phức trong toán học. Mặc dù ban đầu chúng có vẻ trừu tượng và khó hiểu, nhưng chúng lại đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán mà các phương pháp truyền thống không thể xử lý. Việc chấp nhận và khám phá thế giới của số phức đã mở ra những cánh cửa mới trong lĩnh vực toán học và các ứng dụng của nó.
Hy vọng bài viết này đã mang đến cho bạn một cái nhìn thú vị về mối liên hệ giữa lịch sử toán học và những khái niệm hiện đại. Hãy tiếp tục khám phá và học hỏi để mở rộng kiến thức của mình!
Bài viết liên quan