Vectơ h và Vectơ h Toric của Đa Diện Phân Vùng

Bài viết này khám phá các tính chất và mối quan hệ của **vectơ h** và **vectơ h toric** trong ngữ cảnh của đa diện phân vùng. Chúng ta sẽ xem xét cách các vectơ này được định nghĩa, tính toán và liên hệ với cấu trúc của đa diện.

Định Nghĩa Đa Diện Phân Vùng

Ký hiệu P_n là bao lồi trong Rⁿ của tất cả các phân vùng của n. Ví dụ, P₄ là bao lồi của năm vectơ (4, 0, 0, 0), (3, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 0), (2, 1, 1, 0) và (1, 1, 1, 1). Chiều của P_n là n-1.

Cho f_i biểu thị số lượng mặt i chiều của P_n. Đặc biệt, f_-1 = 1, tương ứng với mặt rỗng.

Vectơ h của Đa Diện Phân Vùng

**Vectơ h** của P_n, ký hiệu h(P_n) = (h₀, h₁, ..., h_n-1), được định nghĩa bởi công thức sau:

∑_i=0^n-1 f_i-1(x-1)^n-1-i = ∑_i=0^n-1 h_ix^n-1-i

Thông thường, **vectơ h** chỉ được định nghĩa cho các đa diện đơn hình vì nó không có hành vi thú vị nào được biết đến đối với các đa diện tùy ý. Tuy nhiên, định nghĩa vẫn có ý nghĩa trong trường hợp không đơn hình.

Charles Wang đã tính toán **vectơ h** của P_n cho n ≤ 15. Chúng đều có tính chất tuyệt vời là ⌊n/2⌋+1 mục cuối cùng bằng 1.

Ví dụ về Vectơ h

• h(P₃) = (1, 1, 1)
• h(P₄) = (1, 1, 1, 1)
• h(P₅) = (1, 2, 1, 1, 1)
• h(P₆) = (1, 2, 1, 1, 1, 1)
• h(P₇) = (1, 5, 0, 1, 1, 1, 1)

Vectơ g Toric và Ý Nghĩa Cấu Trúc

Wang cũng đã tính toán **vectơ h toric** và **vectơ g toric** của P_n cho n ≤ 14. **Vectơ g toric** có tính chất đáng ngạc nhiên là hai mục cuối cùng của nó là 1, 0. Liệu có ý nghĩa cấu trúc nào cho thuộc tính này không?

Ví dụ:

• **Vectơ g toric** của P₁₀ là (1, 9, 9, 1, 0)
• **Vectơ g toric** của P₁₁ là (1, 18, 38, 16, 1, 0)

Ứng Dụng và Nghiên Cứu Liên Quan

Nghiên cứu sâu hơn về vectơ h và vectơ g toric có thể tìm thấy trong các lĩnh vực tổ hợp, hình học lồi và tô pô đại số. Các khái niệm này liên kết với các tính chất và cấu trúc của các đối tượng hình học thông qua các biểu diễn đại số.