Bài viết này khám phá một tính chất quan trọng trong hình học Riemannian liên quan đến tác động của nhóm Lie lên đa tạp Riemannian. Chúng ta sẽ thảo luận về độ đo của phần bù của hợp các quỹ đạo chính có độ đo Riemannian bằng không. Việc hiểu rõ khái niệm này rất quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về hình học vi phân và lý thuyết nhóm Lie.
Xét một nhóm Lie G tác động isometry và proper (nhưng không nhất thiết tự do) lên một đa tạp Riemannian đầy đủ M.
Chúng ta biết rằng hợp của các quỹ đạo chính, ký hiệu là M*, là một tập mở và trù mật trong M. Tuy nhiên, từ việc các tập mở và trù mật không nhất thiết phải có độ đo đầy đủ (nghĩa là phần bù của chúng có độ đo bằng không), câu hỏi đặt ra là liệu M* có độ đo/thể tích Riemannian đầy đủ hay không?
Câu hỏi cốt lõi là liệu phần bù của M*, tức là M \ M*, có độ đo Riemannian bằng không hay không.
Một số lập luận cho rằng điều này có thể suy ra từ một số dạng lý luận về số chiều. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng phần bù của M* có thể là một hợp vô hạn đếm được của các quỹ đạo không chính, có số chiều thấp hơn (do đó có độ đo bằng không), và hợp vô hạn đếm được của chúng vẫn có thể có độ đo dương.
Nếu tồn tại các ví dụ mà M* không phải lúc nào cũng có độ đo Riemannian đầy đủ, thì có những trường hợp đặc biệt hoặc đặc trưng nào mà nó có độ đo đầy đủ không?
Một nhận xét quan trọng là M* là phần bù của một hợp các kiểu quỹ đạo có codimension ≥ 1. Theo định lý ống (tube theorem), số lượng các kiểu quỹ đạo này chỉ hữu hạn cục bộ. Vì M là second-countable, tập hợp hữu hạn cục bộ này cũng là đếm được.
Định lý ống (tube theorem) từ Duistermaat và Kolk's Lie Groups (trang 102, 112, 116) cung cấp thông tin quan trọng về cấu trúc của các quỹ đạo. Proposition 2.7.1 (trang 112) chỉ ra rằng chỉ có hữu hạn cục bộ các kiểu quỹ đạo, và đoạn đầu tiên của trang 116 giải thích rằng M* là "phần bù của hợp các kiểu quỹ đạo có codimension dương, hữu hạn cục bộ".
Đối với các nhóm compact, kết quả này là một hệ quả trực tiếp của Corollary 2.5 trong Chương 6 của cuốn sách Bredon. Điều này có thể đúng trong trường hợp tổng quát hơn.
Việc nghiên cứu tính chất độ đo Riemannian của quỹ đạo chính trong tác động nhóm Lie isometry đòi hỏi kiến thức về hình học Riemannian, lý thuyết nhóm Lie và định lý ống. Các kết quả và định lý được đề cập ở trên cung cấp những công cụ quan trọng để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
Bài viết liên quan