Bài viết này đi sâu vào sự khác biệt giữa các biểu diễn tương đương và không tương đương của các trạng thái trên **đại số C***, đồng thời làm rõ mối quan hệ của chúng với không gian đối ngẫu. Việc hiểu rõ những khái niệm này rất quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết biểu diễn và đại số toán tử.
Cho hai trạng thái ω1 và ω2 trên **đại số C*** A, chúng được gọi là không tương đương nếu các biểu diễn GNS của chúng không tương đương. Điều này có nghĩa là không tồn tại một **đồng cấu * đẳng cấu** γ sao cho:
∀ A ∈ A, γ(πω1(A)) = πω2(A)
Liệu sự không tương đương của các biểu diễn GNS có ngụ ý rằng không tồn tại một ánh xạ khả nghịch γ*: A* → A* sao cho:
γ*(ω1)(A) = ω2(A)?
Ở đây, A* là **không gian đối ngẫu** của A. Câu trả lời không phải lúc nào cũng là có, và điều này được minh họa bằng một ví dụ phản chứng.
Xét A = C2 và ω1, ω2 là hai phép chiếu tọa độ. Khi đó, ánh xạ γ* tồn tại, đơn giản chỉ cần hoán đổi hai tọa độ.
Sự không tương đương của các biểu diễn GNS của các trạng thái trên một **đại số C*** không tự động dẫn đến việc không tồn tại ánh xạ khả nghịch giữa các không gian đối ngẫu của chúng. Ví dụ phản chứng cho thấy cần phải xem xét kỹ lưỡng cấu trúc cụ thể của **đại số toán tử** và các trạng thái liên quan.
Nghiên cứu sâu hơn về các **đại số C*** và **không gian đối ngẫu** của chúng là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về các hệ thống toán học phức tạp này.
Bài viết liên quan