Bạn có bao giờ tự hỏi điều gì thúc đẩy sự giãn nở vũ trụ trong những khoảnh khắc đầu tiên? Bài viết này đi sâu vào một trong những mô hình quan trọng nhất để hiểu sự lạm phát này: phương trình Fokker-Planck lượng tử. Chúng ta sẽ khám phá cách nó xuất hiện từ lý thuyết lượng tử và tại sao nó lại hữu ích trong việc mô tả sự dao động của các trường vô hướng trong vũ trụ sơ khai.
Lạm phát ngẫu nhiên, được tiên phong bởi Starobinsky, cho rằng các trường lượng tử trong quá trình lạm phát sơ khai có thể được mô tả gần đúng bằng các phương trình cổ điển với các lực ngẫu nhiên. Điều này dẫn đến một phương trình chuyển động được gọi là phương trình Langevin:
Phương trình Langevin mô tả sự thay đổi của trường vô hướng, ϕ, theo thời gian, bị ảnh hưởng bởi thế năng của nó, V'(ϕ), và một lực ngẫu nhiên, f(x, t). Lực ngẫu nhiên này đại diện cho sự tương tác với các dao động bước sóng ngắn bị "tích hợp" trong mô tả thô.
Thay vì theo dõi chính xác trường, chúng ta có thể mô tả xác suất tìm thấy trường trong một cấu hình nhất định. Điều này được thực hiện bằng phương trình Fokker-Planck:
Phương trình Fokker-Planck mô tả sự thay đổi của hàm mật độ xác suất, ρ[ϕ(x, t)], theo thời gian. Nó bao gồm một số hạng trôi dạt liên quan đến thế năng và một số hạng khuếch tán liên quan đến cường độ của lực ngẫu nhiên.
Phương trình Fokker-Planck có thể được suy ra từ phương trình Langevin bằng cách sử dụng sự mở rộng Kramer-Moyal. Sự mở rộng này cho phép chúng ta liên hệ các hệ số trong phương trình Fokker-Planck với các thuộc tính thống kê của lực ngẫu nhiên.
Một thách thức là khi lực ngẫu nhiên phụ thuộc vào cả không gian và thời gian. Trong trường hợp này, sự mở rộng Kramer-Moyal tiêu chuẩn không thể áp dụng trực tiếp.
Để giải quyết thách thức này, có thể xem xét mối tương quan giữa các lực ngẫu nhiên tại các thời điểm khác nhau, không phải tại các vị trí không gian khác nhau. Điều này cho phép đơn giản hóa sự mở rộng Kramer-Moyal và dẫn đến phương trình Fokker-Planck.
Cách tiếp cận được mô tả trong bài báo liên quan đến việc suy ra phương trình Fokker-Planck trực tiếp từ lý thuyết lượng tử. Điều này đạt được bằng cách cho thấy rằng ma trận mật độ cho lý thuyết hiệu quả của các dao động bước sóng dài tuân theo một phiên bản lượng tử của phương trình Fokker-Planck.
Phương trình lượng tử này có mối liên hệ đơn giản với phương trình Fokker-Planck tiêu chuẩn của lý thuyết ngẫu nhiên cổ điển và có thể được tổng quát hóa đến bất kỳ bậc nào trong lý thuyết nhiễu loạn.
Phương trình Fokker-Planck lượng tử cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ để nghiên cứu sự biến động của các trường vô hướng trong lạm phát sơ khai. Nó có thể được sử dụng để:
Bằng cách phát triển một kết nối hoàn chỉnh giữa các lý thuyết lượng tử và ngẫu nhiên cổ điển, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi khó hoặc không thể tiếp cận được từ phía ngẫu nhiên.
Bài viết này chỉ là một cái nhìn tổng quan ngắn gọn về một chủ đề phức tạp. Tuy nhiên, hy vọng rằng nó đã cung cấp một giới thiệu hữu ích về phương trình Fokker-Planck lượng tử và vai trò của nó trong việc hiểu sự lạm phát ngẫu nhiên.
Bài viết liên quan