Mô hình Nambu-Jona-Lasinio Hai Hương Vị: Lagrangian và Phương Trình Khoảng Trống Khối Lượng

Bài viết này đi sâu vào mô hình Nambu-Jona-Lasinio (NJL) với hai hương vị (lên và xuống), một công cụ quan trọng trong vật lý hạt nhân và vật lý hạt cơ bản. Chúng ta sẽ khám phá các biểu thức Lagrangian khác nhau được sử dụng để mô tả mô hình, xem xét sự tương đương của chúng và thảo luận về các phương pháp khác nhau để suy ra phương trình khoảng trống khối lượng, một phương trình then chốt xác định khối lượng của các hạt trong mô hình. Hiểu rõ mô hình NJL là rất quan trọng vì nó cung cấp một khung đơn giản nhưng mạnh mẽ để nghiên cứu các hiện tượng như phá vỡ đối xứng chiral và sự hình thành condensate quark. Bài viết này hữu ích vì nó làm sáng tỏ những khía cạnh khác nhau của mô hình NJL, giúp bạn đọc hiểu rõ hơn về các khái niệm và kỹ thuật liên quan.

Các Biểu Thức Lagrangian cho Mô Hình NJL Hai Hương Vị

Trong mô hình NJL hai hương vị, Lagrangian mô tả tương tác giữa các fermion (quark) thông qua một tương tác bốn-fermion. Có một số cách để viết Lagrangian này, và đôi khi chúng có thể trông khác nhau. Chúng ta sẽ xem xét hai biểu thức phổ biến nhất và thảo luận về mối quan hệ giữa chúng.

Biểu Thức Lagrangian Tiêu Chuẩn

Một trong những biểu thức Lagrangian phổ biến nhất cho mô hình NJL hai hương vị là:
L = Ψ̄(i∂̸)Ψ + G[(Ψ̄Ψ)² + (Ψ̄iγ₅τ⃗Ψ)²]
Ở đây:

• Ψ là trường fermion hai hương vị (một spinor Dirac).
• ∂̸ = γ^μ∂_μ là toán tử Dirac.
• G là hằng số tương tác.
• τ⃗ là các ma trận Pauli, hoạt động trong không gian hương vị.
• γ₅ là ma trận chiral.

Thuật ngữ đầu tiên mô tả động năng của các fermion, trong khi thuật ngữ thứ hai mô tả tương tác bốn-fermion. Tương tác này bao gồm một kênh vô hướng (Ψ̄Ψ) và một kênh giả vô hướng (Ψ̄iγ₅τ⃗Ψ). Các kênh này tương ứng với sự hình thành các condensate scalar và pseudoscalar, tương ứng.

Biểu Thức Lagrangian Thay Thế

Một biểu thức Lagrangian khác có thể được tìm thấy trong tài liệu là:
L = Ψ̄(i∂̸)Ψ + G[Ψ̄_aΨ_bΨ̄_bΨ_a - Ψ̄_aγ₅Ψ_bΨ̄_bγ₅Ψ_a]
Ở đây, a và b là các chỉ số hương vị (tổng được hiểu). Lưu ý rằng trong biểu thức này, các chỉ số hương vị được xen kẽ và ma trận Pauli vắng mặt.

Sự Tương Đương của Các Biểu Thức

Hai biểu thức Lagrangian này thực sự tương đương. Sự tương đương có thể được chứng minh bằng cách sử dụng quan hệ hoàn chỉnh của ma trận Pauli:
τ⃗_ab ⋅ τ⃗_cd = 2δ_adδ_bc - δ_abδ_cd
Sử dụng quan hệ này, có thể chứng minh rằng biểu thức Lagrangian tiêu chuẩn có thể được biến đổi thành biểu thức thay thế và ngược lại. Do đó, cả hai biểu thức đều mô tả cùng một vật lý.

Phương Trình Khoảng Trống Khối Lượng

Phương trình khoảng trống khối lượng là một phương trình tự nhất quán xác định khối lượng của các fermion trong mô hình NJL. Nó có nguồn gốc từ phương pháp Hartree-Fock và liên quan đến việc tính toán condensate quark. Có một số phương pháp khác nhau để suy ra và giải phương trình khoảng trống khối lượng, và chúng có thể dẫn đến các kết quả khác nhau.

Phương Pháp Hartree-Fock

Trong phương pháp Hartree-Fock, tương tác bốn-fermion được tuyến tính hóa bằng cách sử dụng gần đúng trường trung bình. Điều này dẫn đến một phương trình khoảng trống khối lượng có dạng:
m = m₀ - 2G⟨Ψ̄Ψ⟩
Ở đây:

• m là khối lượng động của fermion.
• m₀ là khối lượng quark hiện tại (khối lượng trần).
• G là hằng số tương tác.
• ⟨Ψ̄Ψ⟩ là condensate quark.

Condensate quark là một giá trị kỳ vọng của chân không của toán tử Ψ̄Ψ. Nó đo lường sự hình thành các cặp quark-antiquark trong chân không.

Các Phương Pháp Khác Nhau để Tính Toán Phương Trình Khoảng Trống Khối Lượng

Có một số phương pháp khác nhau để tính toán phương trình khoảng trống khối lượng trong mô hình NJL. Một phương pháp là chỉ xem xét đóng góp của thuật ngữ vô hướng (Ψ̄Ψ)² trong Lagrangian. Phương pháp này dựa trên đối xứng Lorentz và tính chẵn lẻ, chỉ cho phép thuật ngữ vô hướng tồn tại.

Một phương pháp khác là xem xét cả đóng góp của các thuật ngữ vô hướng (Ψ̄Ψ)² và giả vô hướng (Ψ̄iγ₅τ⃗Ψ)². Phương pháp này dẫn đến một phương trình khoảng trống khối lượng phức tạp hơn, có thể có các giải pháp vô hướng và giả vô hướng. Tuy nhiên, bằng cách thực hiện một phép quay chiral/trục của fermion (Ψ → e^-iθγ₅/2Ψ), bạn luôn có thể làm cho khối lượng trở thành một đại lượng vô hướng. Do đó, việc chọn chỉ phần vô hướng cho phương trình khoảng trống không làm mất đi tính tổng quát.

Sự khác biệt giữa các phương pháp này phát sinh từ cách thức xử lý sự phá vỡ đối xứng chiral trong mô hình. Phương pháp chỉ xem xét thuật ngữ vô hướng ngụ ý rằng sự phá vỡ đối xứng chiral là hoàn toàn do sự hình thành condensate scalar. Phương pháp xem xét cả hai thuật ngữ ngụ ý rằng sự phá vỡ đối xứng chiral có thể có các thành phần scalar và pseudoscalar.

Trong trường hợp tổng quát, cả thuật ngữ scalar và giả scalar đều có thể đóng góp vào phương trình khoảng trống, dẫn đến khối lượng có cả phần scalar và phần giả scalar. Tuy nhiên, bằng cách thực hiện một phép quay chiral/trục của fermion, bạn luôn có thể làm cho khối lượng trở thành một đại lượng scalar. Do đó, việc chọn chỉ phần scalar cho phương trình khoảng trống không làm mất đi tính tổng quát. Tuy nhiên, "phép quay chiral/trục" này có những hạn chế trong việc xoay các thuật ngữ khối lượng vi phạm CP (chéo) cho 3 thế hệ fermion, dẫn đến vi phạm CP yếu trong ma trận CKM.

Tóm lại, mô hình Nambu-Jona-Lasinio (NJL) là một công cụ hữu ích để nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến sự phá vỡ đối xứng chiral trong vật lý hạt nhân và hạt cơ bản. Các biểu thức Lagrangian khác nhau có thể được sử dụng để mô tả mô hình và có một số phương pháp khác nhau để suy ra và giải phương trình khoảng trống khối lượng. Sự lựa chọn phương pháp có thể ảnh hưởng đến kết quả, và điều quan trọng là phải xem xét các giả định và giới hạn của từng phương pháp.