Hình học Kähler trên hình cầu đơn vị Quaternionic: Cấu trúc và Biến đổi Möbius

Bài viết này đi sâu vào việc nghiên cứu cấu trúc hình học trên hình cầu đơn vị quaternionic, đặc biệt tập trung vào các cấu trúc Hermitian, Riemannian và Kähler. Chúng ta sẽ khám phá cách các cấu trúc này liên quan đến các phép biến đổi Möbius chính quy và những ứng dụng của chúng trong không gian quaternionic. Hiểu rõ những khái niệm này sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về **hình học phức** và **hình học quaternionic**.

Hình cầu đơn vị Quaternionic và Metric Riemannian

Xét hình cầu đơn vị mở trong không gian quaternions Hⁿ: B_n = {q = (q₁, …, q_n) ∈ Hⁿ: |q|² = ∑_j=1ⁿ |q_j|² < 1}. Không gian này được trang bị một **metric Riemannian** g_q được định nghĩa bởi:

g_q = −4/(1 − |q|²) * ((1 − |q|²)∑_j=1ⁿ dq_j ⊗ dq_j + ∑_i,j=1ⁿ q_i q_j dq_i ⊗ dq_j).

Việc xác định metric này là bước quan trọng để hiểu **cấu trúc hình học** của hình cầu đơn vị quaternionic và cách nó khác biệt so với các không gian hình học khác.

Cấu trúc Quaternionic Kähler và Dạng thức ω_q

Để tìm biểu thức của **dạng thức quaternionic Kähler** ω_q, ta cần định nghĩa một cấu trúc quaternionic J trên B_n. Với q_j = x_j + y_ji + z_jj + w_jk; j = 1, …, n, cấu trúc quaternionic J_ν, với ν = 1, 2, 3, được định nghĩa như sau:

• J₁ = ∑_j=1ⁿ (−∂/∂x_j ⊗ dy_j + ∂/∂y_j ⊗ dx_j + ∂/∂z_j ⊗ dw_j − ∂/∂w_j ⊗ dz_j)
• J₂ = ∑_j=1ⁿ (−∂/∂x_j ⊗ dz_j − ∂/∂y_j ⊗ dw_j + ∂/∂z_j ⊗ dx_j + ∂/∂w_j ⊗ dy_j)
• J₃ = ∑_j=1ⁿ (∂/∂x_j ⊗ dw_j − ∂/∂y_j ⊗ dz_j + ∂/∂z_j ⊗ dy_j − ∂/∂w_j ⊗ dx_j)

Không giống như trường hợp của hình cầu đơn vị phức, nơi J đơn giản là phép nhân với i, ở đây ta có ba **cấu trúc quaternionic Kähler** ω_1q, ω_2q, ω_3q. Vậy, biểu thức của ω_q là ω_q = (ω_1q, ω_2q, ω_3q)?

So sánh với hình cầu đơn vị phức

Trong trường hợp của hình cầu đơn vị phức B_n = {z ∈ Cⁿ: |z| < 1}, J đơn giản là phép nhân với i, tương đương với phép quay J = ∑_j (∂/∂y_j ⊗ dx_j − ∂/∂x_j ⊗ dy_j), với z_j = x_j + iy_j. Liệu ta có thể kỳ vọng rằng J₁, J₂ và J₃ trong trường hợp quaternionic đơn giản chỉ là phép nhân với i, j và k, tương ứng?

Tính toán và Biểu thức của ω_q

Việc tìm kiếm biểu thức cụ thể của ω_q là một thách thức quan trọng. Như đã đề cập, ta cần xác định rõ ràng các cấu trúc J₁, J₂ và J₃ và cách chúng tương tác với metric Riemannian g_q. Quá trình này đòi hỏi sự kết hợp của kiến thức về **hình học vi phân**, **hình học phức** và **hình học quaternionic**.

Nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này sẽ mang lại những hiểu biết giá trị về sự khác biệt và tương đồng giữa hình học phức và hình học quaternionic, mở ra những hướng nghiên cứu mới trong **đa tạp Kähler** và các lĩnh vực liên quan.