Bài viết này đi sâu vào một vấn đề hóc búa trong lý thuyết nhóm: Nghiên cứu các **tự đẳng cấu ngoài** của nhóm tự do profinite và ảnh hưởng của chúng đến lớp liên hợp của giao hoán tử. Chúng ta sẽ khám phá những điều kiện để một tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp của giao hoán tử, đồng thời làm sáng tỏ cấu trúc phức tạp của nhóm tự đẳng cấu ngoài trong bối cảnh profinite. Bài viết này hữu ích cho những ai muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết nhóm, đặc biệt là các nhóm tự do và nhóm profinite.
Cho F2 là nhóm tự do sinh bởi hai phần tử **a** và **b**. Giao hoán tử **c** được định nghĩa là [**a**, **b**]. Câu hỏi đặt ra là: những tự đẳng cấu nào của **F2** bảo toàn lớp liên hợp của **c**?
Trong trường hợp nhóm tự do thông thường, mọi tự đẳng cấu đều bảo toàn lớp liên hợp của nhóm con cyclic vô hạn sinh bởi **c** (tức là ảnh của **c** liên hợp với **c** hoặc **c-1**). Tuy nhiên, tình hình trở nên phức tạp hơn trong bối cảnh profinite.
Xét F̂2 là nhóm tự do profinite sinh bởi **a** và **b**. Đặt **c** = [**a**, **b**]. Bài toán được đặt ra là: với những **ψ** ∈ Aut(**F̂2**) nào thì **ψ(c)** liên hợp với **c** hoặc **c-1**?
Việc tính toán các phần tử trong Aut(**F̂2**) hoặc Out(**F̂2**) không hề đơn giản. Trong khi Out(**F2**) đẳng cấu với GL2(ℤ), và một phần tử **φ** trong Out(**F2**) gửi **c** đến một phần tử liên hợp với **c** hoặc **c-1** khi và chỉ khi định thức của **φ** là 1 hoặc -1, thì ánh xạ Out(**F̂2**) → GL2(ℤ̂) lại có hạt nhân không tầm thường.
Tồn tại những tự đẳng cấu trong Aut(**F̂2**) không bảo toàn giao hoán tử. Giả sử **K** là một nhóm con chuẩn tắc chỉ số hữu hạn của nhóm tự do profinite bậc 2 **F̂2**. Theo Melnikov, mọi tự đẳng cấu của **F̂2**/K đều được tạo ra bởi một tự đẳng cấu của **F̂2**.
Xét các toàn ánh F2 → SL2(Fp) không tương đương Nielsen. Khi đó, F2 ↠ SL2(Fp)k, với k là số lớp Nielsen. Nhóm này cũng là một thương của **F̂2**, do đó mọi hoán vị của các nhóm thương SL2(Fp) sẽ được thực hiện bởi một tự đẳng cấu của **F̂2** (bảo toàn **K**, do đó đi xuống thương).
Tuy nhiên, những tự đẳng cấu như vậy thường không bảo toàn các lớp Nielsen. Trên thực tế, các lớp Nielsen khác nhau có thể được phân biệt bởi vết của giao hoán tử (bằng với vết của nghịch đảo của nó). Vì các hoán vị của các nhân tử SL2(Fp) không bảo toàn vết của các giao hoán tử, nên giao hoán tử không được bảo toàn.
Chắc chắn, Aut(F2)̂ bảo toàn lớp liên hợp của giao hoán tử trong **F̂2**.
Việc nghiên cứu Out(**F̂2**) có thể mang lại những hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của nhóm này. Phân loại Giả thuyết có thể ngụ ý rằng đối với các nhóm thương SL2(Fp)k như trên, các tự đẳng cấu duy nhất của **F̂2** bảo toàn các lớp liên hợp của giao hoán tử và nghịch đảo đến từ Aut(F2)̂. Nếu giả thuyết này có một sự tổng quát hóa cho tất cả các nhóm hữu hạn bậc 2, thì nó sẽ ngụ ý rằng các tự đẳng cấu duy nhất bảo toàn giao hoán tử lên đến liên hợp đến từ Aut(F2)̂.
Nếu giả thuyết tổng quát này là sai, thì sẽ có một nhóm con lớn hơn bảo toàn giao hoán tử. Trong mọi trường hợp, đây không phải là điều sâu sắc lắm, chỉ là một sự diễn đạt lại câu hỏi theo các thương hữu hạn, vốn chỉ là tập hợp của tất cả các nhóm hữu hạn 2 sinh. Mọi nhóm đơn giản đều nằm trong lớp này, cũng như các tích của chúng lên đến số lượng lớp Nielsen của 2 sinh. Nhưng đó có vẻ là một điều khó tính toán nói chung.
Bài viết liên quan