Bài viết này trình bày một cái nhìn sâu sắc về **độ cong Kähler-Einstein nón**, một chủ đề quan trọng trong hình học Kähler. Chúng ta sẽ khám phá sự tồn tại và tính duy nhất của các độ cong này dọc theo các ước số giao cắt chuẩn tắc đơn giản trên các đa tạp Fano, đồng thời xem xét các ước tính độ cong liên quan. Những hiểu biết này rất quan trọng để hiểu sâu hơn về cấu trúc hình học và tô pô của các đa tạp phức.
**Độ cong Kähler-Einstein nón** đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu về hình học Kähler, đặc biệt là trong bối cảnh của các đa tạp Fano. Gần đây, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về chủ đề này, chứng tỏ tầm quan trọng của nó trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
Bài viết này sẽ tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của độ cong Kähler-Einstein nón dọc theo một ước số giao cắt chuẩn tắc đơn giản với các góc nón được chỉ định trước. Chúng ta cũng sẽ thiết lập một ước tính độ cong cho các độ cong nón, tổng quát hóa ước tính độ cong Li–Rubinstein cho trường hợp một ước số.
Để nghiên cứu độ cong Kähler-Einstein nón, chúng ta cần thiết lập một số khái niệm cơ bản và các hàm năng lượng liên quan. Điều này bao gồm việc xây dựng phương trình Monge-Ampère phức tạp từ điều kiện Kähler-Einstein nón.
Một ước số giao cắt chuẩn tắc đơn giản *D* bao gồm *m* ước số bất khả quy. Chúng ta sử dụng các phần chính tắc holomorphic *Sr* để xác định các ước số này và giới thiệu các metric Hermitian trên các bó đường. Từ đó, chúng ta có thể suy ra phương trình Monge-Ampère nón cho *φ*.
Để giải phương trình Monge-Ampère nón, chúng ta sử dụng một **quy trình xấp xỉ** để xây dựng các nghiệm trơn cho các phương trình Monge-Ampère phức tạp. Mục tiêu là thiết lập các ước tính đồng nhất cho các nghiệm này và chứng minh rằng chúng hội tụ về nghiệm của phương trình Monge-Ampère nón ban đầu.
Chúng ta xét nghiệm *φϵ* của phương trình xấp xỉ và tìm cách thiết lập các ước tính đồng nhất cho chúng. Điều này bao gồm chứng minh tính chất thích hợp của các hàm Ding tương ứng và thu được một chặn trên đồng nhất cho chúng, dẫn đến chặn *C0* đồng nhất cho *φϵ*.
Sau khi thiết lập sự tồn tại của nghiệm yếu *L∞* cho phương trình, bước tiếp theo là thiết lập ước tính Laplacian, tức là sự tương đương của metric *ωφ* và metric nón chuẩn *ωbg*.
Trong phần này, chúng tôi cung cấp một chứng minh chi tiết cho Định lý 1.2, không chỉ là một ước tính đồng nhất cho hình học nền nón mà còn cung cấp một phương pháp tiếp cận khả thi khác cho các ước tính Laplacian trong các bài toán hình học nón. Chúng tôi sẽ tính toán theo phương pháp Li–Rubinstein trong phụ lục của [17].
Qua chứng minh của Định lý 1.1, chúng ta nhận thấy rằng sự tồn tại của độ cong Kähler-Einstein đảm bảo tính chất thích hợp của hàm Ding hoặc Mabuchi trơn, được sử dụng để suy ra tính chất thích hợp của các hàm xoắn. Theo nghĩa này, theo các giả định của ước số, sự tồn tại của một độ cong Kähler-Einstein nón ngụ ý sự tồn tại của các độ cong Kähler-Einstein nón với các góc nón nhỏ hơn và hằng số *μ*.
Bài viết liên quan