Bài viết này đi sâu vào một câu hỏi hóc búa trong hình học Riemann và hình học conform: Liệu bất biến Yamabe của một đa tạp đóng 4 chiều, mà nó chấp nhận một metric hyperbolic, có nhất thiết phải âm hay không? Đây là một vấn đề mở quan trọng, và chúng ta sẽ khám phá những khía cạnh liên quan, bao gồm các kết quả đã biết và những thách thức trong việc chứng minh tính âm của bất biến Yamabe. Việc hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa cấu trúc hyperbolic và bất biến Yamabe có thể mang lại những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc hình học và tô pô của các đa tạp.
Cho một đa tạp đóng 4 chiều *M* chấp nhận một metric hyperbolic, bất biến Yamabe Y(*M*) thỏa mãn Y(*M*) ≤ 0. Câu hỏi đặt ra là liệu Y(*M*) < 0 có đúng không? Để hiểu rõ hơn, chúng ta cần định nghĩa bất biến Yamabe. Đây là một bất biến hình học đo lường "tổng độ cong scalar tốt nhất" mà một đa tạp Riemann có thể có được thông qua các phép biến đổi conform. Nói cách khác, nó là giá trị lớn nhất của độ cong scalar trung bình trên tất cả các metric conform tương đương với metric ban đầu.
Câu hỏi về dấu của bất biến Yamabe trên các đa tạp hyperbolic là một câu hỏi sâu sắc bởi vì nó liên kết hình học hyperbolic (với độ cong scalar âm hằng số) với hình học conform. Nếu bất biến Yamabe thực sự luôn âm, điều này có nghĩa là không có metric conform nào có độ cong scalar không âm trên đa tạp đó. Điều này sẽ có những hệ quả quan trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc hình học trên các đa tạp 4 chiều.
Theo các chuyên gia, đây vẫn là một vấn đề mở. Nếu Y(*M*) = 0, thì giá trị này chắc chắn không đạt được. Điều này có nghĩa là không tồn tại metric trong lớp conform đạt được giá trị 0. Một cách tiếp cận để chứng minh Y(*M*) < 0 là chứng minh rằng không tồn tại metric scalar-flat (metric có độ cong scalar bằng 0) trong lớp conform của metric hyperbolic. Tuy nhiên, việc chứng minh sự không tồn tại này là một thách thức lớn.
Vấn đề này cũng mở rộng ra các chiều lớn hơn 4. Do sự cản trở khả năng mở rộng đối với các metric có độ cong scalar dương (ví dụ: Lawson-Michelsohn Corollary IV.5.6), chúng ta có Y(*M*) ≤ 0. Tuy nhiên, cho đến nay, chưa có đa tạp đóng nào có số chiều lớn hơn 4 được biết đến mà có thể chứng minh Y(*M*) < 0. Tương tự, nếu Y(*M*) = 0, thì supremum không đạt được.
Nếu có một lớp conform *C* với Y(*M*, *C*) = 0, thì *C* sẽ chứa một metric scalar-flat *g*. Theo lý luận từ Bernd Ammann, *M* không chấp nhận metric psc (positive scalar curvature), vì vậy *g* phải thực sự là Ricci-flat (độ cong Ricci bằng 0). Theo định lý Cheeger-Gromoll splitting, một đa tạp Ricci-flat aspherical thực sự là phẳng. Tuy nhiên, một đa tạp compact không thể vừa chấp nhận một metric hyperbolic vừa chấp nhận một metric phẳng. Theo tính chất phẳng, π1 có một nhóm con chỉ số hữu hạn đẳng cấu với Zn, nhưng điều này mâu thuẫn với định lý Preismann.
Tóm lại, nếu bất biến Yamabe bằng 0, điều này dẫn đến sự tồn tại của một metric Ricci-flat, và từ đó, sự tồn tại của một metric phẳng. Điều này mâu thuẫn với giả định rằng đa tạp ban đầu có metric hyperbolic. Do đó, supremum không thể đạt được.
Câu hỏi về dấu của bất biến Yamabe trên các đa tạp hyperbolic vẫn là một câu hỏi mở hấp dẫn. Việc giải quyết vấn đề này đòi hỏi những công cụ tinh vi từ hình học Riemann, hình học conform, và tô pô. Các hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm:
Việc tìm ra câu trả lời cho câu hỏi này không chỉ làm sáng tỏ mối liên hệ giữa hình học hyperbolic và bất biến Yamabe mà còn có thể mở ra những hướng nghiên cứu mới trong hình học đa tạp.
Bài viết liên quan