Bài viết này khám phá mối quan hệ giữa các bản đồ coresiction và trace trong lý thuyết Iwasawa, đặc biệt là cách chúng tương tác trên các vành nhóm của các mở rộng Galois. Hiểu rõ các tương tác này là rất quan trọng để nghiên cứu cấu trúc của các nhóm Tate-Shafarevich và các đối tượng số học khác.
Chúng ta bắt đầu với một mở rộng bậc hai ảo K/Q và một số nguyên tố lẻ p sao cho p trơ trong K. Gọi K∞ là compositum của tất cả các mở rộng Zp trên K, vì vậy K∞/K là một mở rộng Zp^2.
Trường lớp tia K(p∞) chứa K∞. Gọi Kc là mở rộng cyclotomic Zp trên K. Tại các lớp hữu hạn, K(pn) chứa (Kc)n cho n ≥ 1. Gọi K(pn)' biểu thị trường con lớn nhất của K(pn) với bậc của Gal(K(pn)'/K) là một lũy thừa của p.
Đặt An := Gal(K(pn)'/K) và Gn := Gal((Kc)n/K). Xét các vành nhóm Zp[An] và Zp[Gn]. Trên các vành nhóm này, người ta có thể định nghĩa các phép chiếu (ký hiệu là π, đến từ bản đồ giới hạn trên các nhóm Galois tương ứng) từ Zp[An] → Zp[An-1] (tương tự cho Gn).
Người ta cũng có thể định nghĩa một bản đồ Zp[An-1] → Zp[An] như sau: Với σ ∈ An-1, đặt corAnAn-1(σ) := ∑τ ∈ An, π(τ) = σ τ ∈ Zp[An]. Tương tự, ta có thể định nghĩa corGnGn-1 và mở rộng định nghĩa này thành các bản đồ trên các vành nhóm.
Câu hỏi đặt ra là: Hai bản đồ cor cư xử như thế nào khi chiếu một phần tử từ Zp[An-1] xuống Zp[Gn-1] rồi áp dụng cor so với việc áp dụng cor trước rồi chiếu từ Zp[An] xuống Zp[Gn].
Người ta có thể xem các vành nhóm được thảo luận ở trên như là các thương của một đại số Iwasawa hai biến (và trong một biến khi chiếu xuống Zp[Gn]). Có vẻ như corAnAn-1 nên tương ứng với p ⋅ corGnGn-1 sau khi lấy các phép chiếu thích hợp. Tuy nhiên, điều này chưa chắc chắn. Cần hiểu rõ những bản đồ trên chuyển thành gì, khi ta xem các phần tử vành nhóm này như các đa thức với hệ số Zp.
Vấn đề này nảy sinh khi nghiên cứu quan hệ chuẩn của các phần tử Mazur--Tate tổng quát hóa từ cấu trúc của Shai Haran, được thảo luận trong Định lý 4.1 trong "Tích phân p-adic trên các nhóm lớp tia và các hàm L p-adic phi chính quy" của D. Loeffler. Mục tiêu là xem điều gì xảy ra với quan hệ chuẩn khi chiếu chúng lên mở rộng cyclotomic Zp khi p trơ trong K.
Một số nhận xét quan trọng:
Cho G là một nhóm hữu hạn và H và J là các nhóm con chuẩn tắc. Với bất kỳ vành R, hai bản đồ sau là bằng nhau:
Chúng gửi gJ cho g ∈ G đến tổng của tất cả các aH khác biệt sao cho ⋃aH = gHJ. Số lượng các số hạng trong tổng là kích thước của J/J ∩ H ≅ JH/H. Hệ số vô hướng trong trường hợp này nên là bậc của K(pn)' trên K(pn-1)' ⋅ (Kc)n, trong đó (Kc)n được định nghĩa lại là giao của Kc và K(pn).
Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc số học liên quan đến các mở rộng cyclotomic Zp và hành vi của các bản đồ coresiction trên các vành nhóm, có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết Iwasawa và nghiên cứu các nhóm Tate-Shafarevich.
Bài viết liên quan