Trong hình học vi phân, **vận chuyển song song (parallel transport)** là một phương pháp để di chuyển dữ liệu hình học dọc theo các đường cong trơn trong một **đa tạp (manifold)**. Nếu đa tạp được trang bị một **liên kết affine (affine connection)**, phép vận chuyển song song cho phép chúng ta di chuyển các vector của đa tạp dọc theo các đường cong sao cho chúng giữ được tính song song so với liên kết đó. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này, vai trò của nó trong việc kết nối hình học tại các điểm lân cận, và cách nó liên quan đến các khái niệm khác như độ cong và holonomy.
Vận chuyển song song cung cấp một cách để kết nối hình học địa phương của một đa tạp dọc theo một đường cong. Nói cách khác, nó cho phép chúng ta "kết nối" hình học của các điểm gần nhau. Mặc dù có thể có nhiều cách khác nhau để định nghĩa **vận chuyển song song**, việc chỉ định một phương pháp kết nối hình học của các điểm trên một đường cong tương đương với việc cung cấp một **liên kết (connection)**. Thật vậy, khái niệm liên kết thông thường là một dạng tương tự vô cùng nhỏ của vận chuyển song song. Ngược lại, **vận chuyển song song** là sự hiện thực hóa cục bộ của một liên kết.
Vận chuyển song song không chỉ là một công cụ để di chuyển vector. Nó còn là chìa khóa để hiểu về **độ cong (curvature)** thông qua khái niệm **holonomy**. Định lý Ambrose-Singer mô tả rõ ràng mối quan hệ giữa độ cong và holonomy, cho thấy rằng độ cong là "tàn dư" của việc vận chuyển song song một vector xung quanh một vòng kín.
Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét một **đa tạp trơn (smooth manifold)** *M*. Tại mỗi điểm *p* thuộc *M*, tồn tại một không gian vector liên kết *TpM*, được gọi là **không gian tiếp tuyến (tangent space)** của *M* tại *p*. Các vector trong *TpM* được coi là các vector tiếp tuyến với *M* tại *p*. Một **metric Riemann (Riemannian metric)** *g* trên *M* gán cho mỗi *p* một tích trong xác định dương *gp*: *TpM* × *TpM* → **R** một cách trơn tru. Một đa tạp trơn *M* được trang bị một metric Riemann *g* được gọi là **đa tạp Riemann (Riemannian manifold)**, ký hiệu (*M*, *g*).
Trong không gian Euclid, tất cả các không gian tiếp tuyến được xác định một cách chính tắc với nhau thông qua phép tịnh tiến, do đó việc di chuyển các vector từ không gian tiếp tuyến này sang không gian tiếp tuyến khác rất dễ dàng. **Vận chuyển song song của vector tiếp tuyến** là một cách để di chuyển các vector từ không gian tiếp tuyến này sang không gian tiếp tuyến khác dọc theo một đường cong trong bối cảnh của một đa tạp Riemann tổng quát. Lưu ý rằng mặc dù các vector nằm trong không gian tiếp tuyến của đa tạp, nhưng chúng có thể không nằm trong không gian tiếp tuyến của đường cong mà chúng đang được vận chuyển dọc theo.
Giả sử *M* là một đa tạp với một **liên kết affine** ∇. Một trường vector *X* được gọi là **song song (parallel)** nếu, đối với bất kỳ trường vector *Y* nào, ∇*Y**X* = 0. Một cách trực quan, các trường vector song song có tất cả các **đạo hàm (derivatives)** của chúng bằng không và do đó, theo một nghĩa nào đó, là **hằng số (constant)**. Bằng cách đánh giá một trường vector song song tại hai điểm *x* và *y*, chúng ta có thể xác định một vector tiếp tuyến tại *x* với một vector tiếp tuyến tại *y*. Các vector tiếp tuyến như vậy được gọi là **vận chuyển song song** của nhau.
Chính xác hơn, nếu γ: *I* → *M* là một **đường cong trơn (smooth curve)** được tham số hóa bởi một khoảng [*a*, *b*] và ξ ∈ *TxM*, trong đó *x* = γ(*a*), thì một **trường vector (vector field)** *X* dọc theo γ (và đặc biệt, giá trị của trường vector này tại *y* = γ(*b*)) được gọi là **vận chuyển song song của** ξ dọc theo γ nếu ∇γ'(*t*)*X* = 0, với mọi *t* ∈ [*a*, *b*] và *X*γ(*a*) = ξ.
Hãy xem xét việc **vận chuyển song song** một vector trên một mặt cầu. Khi di chuyển vector dọc theo một đường cong kín, vector có thể không trở lại điểm ban đầu với cùng hướng. Góc lệch này thể hiện độ cong của mặt cầu. Điều này trái ngược với không gian Euclid, nơi **vận chuyển song song** luôn giữ nguyên hướng của vector.
Một ví dụ khác là xem xét **vận chuyển song song** trên một hình trụ. Nếu đường cong kín nằm trên mặt phẳng của hình trụ, vector sẽ trở lại với cùng hướng. Tuy nhiên, nếu đường cong bao quanh hình trụ, vector sẽ bị xoay một góc nhất định. Điều này là do hình trụ, mặc dù trông cong, nhưng có **độ cong** bằng không cục bộ.
**Vận chuyển song song** là một khái niệm nền tảng trong hình học vi phân, cung cấp một cách mạnh mẽ để hiểu về hình học của các đa tạp và không gian cong. Từ việc di chuyển các vector tiếp tuyến đến việc khám phá độ cong và holonomy, **vận chuyển song song** đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ vật lý lý thuyết đến robot học và đồ họa máy tính. Hiểu rõ về khái niệm này mở ra những cánh cửa mới để khám phá và ứng dụng hình học trong thế giới thực.
Bài viết liên quan