Bạn đã bao giờ tự hỏi điều gì khiến một phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ? Bài viết này sẽ khám phá một khía cạnh thú vị của vấn đề này, đặc biệt khi hệ số của phương trình có liên quan đến các số nguyên tố cùng nhau. Chúng ta sẽ đi sâu vào các định lý và chứng minh, giúp bạn hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa đại số và lý thuyết số.
Giả sử chúng ta có hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau. Xét phương trình bậc hai: ax2 + ax + b = 0. Câu hỏi đặt ra là: nếu phương trình này có nghiệm hữu tỉ, liệu a có phải là một số chính phương hay không?
Đây là một bài toán thú vị, kết hợp giữa kiến thức về phương trình bậc hai và tính chất của số nguyên. Chúng ta hãy cùng nhau đi tìm lời giải.
Để phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ, biệt thức delta (Δ) của nó phải là một số chính phương. Trong trường hợp này, biệt thức delta là: Δ = a2 - 4ab. Vậy, a2 - 4ab = c2, với c là một số nguyên.
Chúng ta có thể biến đổi phương trình này như sau:
a2 - 4ab = c2 => a(a - 4b) = c2. Điều này cho thấy tích của a và (a - 4b) phải là một số chính phương.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng tam thức Pythagore. Từ a2 - 4ab = c2, ta có thể thêm (2b)2 vào cả hai vế: (a - 2b)2 = (2b)2 + c2.
Phương trình này có dạng một bộ ba số Pythagore, và vì a và b nguyên tố cùng nhau, bộ ba này là nguyên thủy. Theo định lý Euclid về tam thức Pythagore, ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng: a - 2b = m2 + n2; 2b = 2mn; c = m2 - n2, với m và n là các số nguyên.
Từ đó, suy ra: a = m2 + n2 + 2mn = (m + n)2. Như vậy, a là một số chính phương.
Xét trường hợp a lẻ. Khi đó, a và (a - 4b) là nguyên tố cùng nhau. Do đó, cả hai yếu tố này phải là số chính phương. Điều này có nghĩa là a là số chính phương.
Xét trường hợp a chẵn. Khi đó, a = 2k. Vì a và b nguyên tố cùng nhau, b phải lẻ. Khi đó, ta có thể suy ra a = 4k'2, với k' là một số nguyên, tức là a là một số chính phương.
Từ những phân tích trên, chúng ta có thể kết luận rằng, nếu a và b là các số nguyên tố cùng nhau và phương trình ax2 + ax + b = 0 có nghiệm hữu tỉ, thì a là một số chính phương.
Hi vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về mối liên hệ thú vị giữa phương trình bậc hai, số nguyên tố cùng nhau và số chính phương. Đây là một ví dụ điển hình cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Bài viết liên quan