Trường CM (CM-field) Là Gì? Định Nghĩa, Tính Chất và Ứng Dụng

Trong lĩnh vực lý thuyết số đại số, trường CM (CM-field) đóng vai trò quan trọng, đặc biệt trong mối liên hệ với phép nhân phức. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về trường CM, bao gồm định nghĩa chính thức, các tính chất quan trọng và các ví dụ minh họa. Hiểu rõ về trường CM sẽ giúp bạn nắm bắt sâu sắc hơn về cấu trúc và đặc điểm của các mở rộng trường số.

Định Nghĩa Trường CM (CM-field)

Một trường số K được gọi là trường CM nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

• **K** là một mở rộng bậc hai của một trường con **F**.
• **F** là một trường hoàn toàn thực, nghĩa là mọi nhúng của **F** vào trường số phức C đều nằm trong trường số thực R.
• **K** là một trường hoàn toàn ảo, nghĩa là không có nhúng nào của **K** vào trường số thực R.

Nói cách khác, tồn tại một trường con **F** của **K** sao cho **K** được sinh ra từ **F** bằng cách thêm căn bậc hai của một phần tử β = √α, trong đó α là một phần tử hoàn toàn âm trong **F**. Điều này có nghĩa là với mọi nhúng σ của **F** vào trường số thực, σ(α) < 0.

Các Tính Chất Quan Trọng của Trường CM

Trường CM sở hữu một số tính chất đặc biệt, làm cho chúng trở nên quan trọng trong lý thuyết số đại số:

• Tự đẳng cấu liên hợp phức: Phép liên hợp phức trên **trường số phức C** tạo ra một tự đẳng cấu trên trường CM K, độc lập với nhúng của **K** vào **C**. Trong ký hiệu trên, nó thay đổi dấu của β.
• Khiếm khuyết đơn vị: Một trường số K là một trường CM khi và chỉ khi nó có một "khiếm khuyết đơn vị", nghĩa là nó chứa một trường con thực sự **F** mà nhóm đơn vị của nó có hạng **Z** giống như của **K**. Trường **F** này chính là trường con hoàn toàn thực của **K** đã đề cập ở trên. Điều này xuất phát từ định lý đơn vị Dirichlet.

Ví Dụ Về Trường CM

Để hiểu rõ hơn về trường CM, hãy xem xét một vài ví dụ:

• Trường bậc hai ảo: Ví dụ đơn giản nhất và mang tính động lực nhất là một trường bậc hai ảo, trong đó trường con hoàn toàn thực chỉ là trường số hữu tỷ Q. Ví dụ: Q(√-1), Q(√-2), Q(√-3).
• Trường phân tròn: Một trong những ví dụ quan trọng nhất là trường phân tròn Q(ζ_n), được sinh ra bởi một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Nó là một mở rộng bậc hai hoàn toàn ảo của trường hoàn toàn thực Q(ζ_n + ζ_n^-1).

Ứng Dụng của Trường CM

Trường CM không chỉ là một khái niệm trừu tượng, mà còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học:

• Lý thuyết nhân phức: Trường CM đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết nhân phức của các đa tạp Abel.
• Đa tạp Abel phức: Nếu **V** là một đa tạp Abel phức có chiều **n**, thì mọi đại số Abel **F** của các tự đồng cấu của **V** có hạng tối đa là 2**n** trên **Z**. Nếu nó có hạng 2**n** và **V** là đơn giản, thì **F** là một vành trong một trường CM.

Kết Luận

Trường CM là một lớp trường số đặc biệt với cấu trúc và tính chất độc đáo. Hiểu rõ về trường CM là điều cần thiết để nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết số đại số và các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực liên quan.