Bài viết này sẽ đi sâu vào việc xác định và liên hệ các toán tử sinh của các nhóm homology, cụ thể là Hn(Dn, ∂Dn) và H˜n(Sn), sử dụng các phép đồng phôi (homeomorphism) đã biết. Chúng ta sẽ khám phá cách các cấu trúc đại số này phản ánh các tính chất hình học của các không gian tô pô tương ứng.
Để hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các nhóm homology, chúng ta cần xem xét các phép biến hình (maps) sau đây:
Một trong những mục tiêu chính là chứng minh rằng lớp homology của σ sinh ra nhóm Hn(Dn, ∂Dn), và lớp homology của G+σ − G−σ sinh ra nhóm H˜n(Sn). Việc liên hệ hai lớp này thông qua F̄ là một bước quan trọng.
Chúng ta có sơ đồ giao hoán sau:
[Hình ảnh sơ đồ giao hoán]
Vì F̄ là một phép đồng phôi, F̄∗ là một đẳng cấu (isomorphism). Tương tự, q∗ cũng là một đẳng cấu. Điều này dẫn đến kết luận rằng F∗ cũng là một đẳng cấu, và do đó:
F∗[σ] = ± [G+σ − G−σ]
với Hn(Dn, ∂Dn) ≅ H˜n(Sn) ≅ Z.
Câu hỏi đặt ra là dấu trong đẳng thức trên là gì? Giả thuyết ban đầu là +1, vì mọi ánh xạ (map), ngoại trừ G−, đều bảo toàn hướng. Để hiểu rõ hơn, ta có thể tưởng tượng một ánh xạ C: Sn → Sn đồng luân với ánh xạ đồng nhất (identity map), cố định cực nam, trải bán cầu nam lên phía bắc, và co cụm bán cầu bắc về cực bắc.
Việc xác định chính xác mối quan hệ giữa các toán tử sinh của nhóm homology và các phép biến hình tô pô là rất quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của các không gian tô pô. Thông qua các công cụ như sơ đồ giao hoán và giải thích hình học, chúng ta có thể hiểu sâu hơn về sự liên kết giữa đại số và tô pô.
Bài viết liên quan