Trong lĩnh vực lý thuyết vành, một câu hỏi thú vị đặt ra là liệu một đa thức có thể phân biệt được tích của hai phần tử theo hai thứ tự khác nhau trong một vành không giao hoán hay không. Bài viết này sẽ khám phá sâu hơn về vấn đề này, đặc biệt khi xét đến ảnh hưởng của các trường vô hạn và đại số quaternion. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu những điều kiện cần thiết để một đa thức trở nên "mù quáng" trước sự khác biệt giữa ab và ba. Điều này rất quan trọng vì nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các vành không giao hoán, một khái niệm trung tâm trong đại số trừu tượng. Nếu bạn đang học tập hoặc nghiên cứu về đại số, bài viết này chắc chắn sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức sâu sắc và hữu ích.
Giả sử chúng ta có một vành liên kết đơn vị R, không giao hoán, chứa một trường vô hạn F, và một đa thức p ∈ F[x] không hằng. Câu hỏi đặt ra là: liệu có tồn tại các phần tử a, b ∈ R sao cho p(ab) ≠ p(ba)?
Trường hợp đơn giản nhất là khi p(x) = a₁x + a₀ với a₁ ≠ 0. Trong trường hợp này, với bất kỳ a, b ∈ R không giao hoán, ta có p(ab) - p(ba) = a₁(ab - ba) ≠ 0. Điều này cho thấy rằng, với đa thức bậc nhất, sự khác biệt giữa ab và ba luôn được nhận biết.
Để khám phá các trường hợp phức tạp hơn, chúng ta bắt đầu với p(x) = a₂x² + a₁x + a₀ với a₂ ≠ 0. Hãy xem xét R = H, đại số chia quaternion thực với cơ sở chuẩn {1, i, j, k}. Lấy a = i và b = j, sao cho ab = k và ba = -k. Khi đó, p(ab) - p(ba) = p(k) - p(-k) = a₂(k² - (-k)²) + a₁(k - (-k)) = 0 + 2a₁k.
Biểu thức này khác 0 khi a₁ ≠ 0. Tuy nhiên, nếu a₁ = 0, sao cho p(x) = a₂x² + a₀, thì mọi chuyện lại khác. Lấy a = i và b = i + j, ta tính được: ab = i(i + j) = -1 + k, ba = (i + j)i = -1 - k, vậy p(ab) - p(ba) = a₂((-1 + k)² - (-1 - k)²) = a₂((-2k)² - (2k)²) = -4a₂k ≠ 0. Điều này cho thấy rằng ngay cả trong trường hợp thuần túy bậc hai, p(ab) ≠ p(ba) vẫn có thể xảy ra.
Nếu R là một trường lệch và F ⊆ Z(R), thì điều này luôn đúng! Điều này có thể được suy ra từ các kết quả của lý thuyết vành đồng nhất thức đa thức. Chúng ta có thể giả sử F = Z(R) (điều này không thay đổi mệnh đề).
Giả sử R thỏa mãn đồng nhất thức (ab)ᵈ - (ba)ᵈ = 0 cho tất cả a, b ∈ R, thì R là một vành đồng nhất thức đa thức. Theo định lý Posner, R là một đại số đơn giản tâm trên F = Z(R). Tích tensor với bao đóng đại số F⁻ bảo toàn các đồng nhất thức đa thức. Bây giờ R ⊗F F⁻ ≅ Mn(F⁻) theo Artin-Wedderburn, nhưng đồng nhất thức rõ ràng không đúng trong các vành ma trận (với n ≥ 2), như được chứng minh bởi a = [[0, 1], [0, 0]], b = [[0, 0], [1, 0]], (ab)ⁿ - (ba)ⁿ = [[1, 0], [0, -1]]. Vì vậy, nhất thiết n = 1 và chúng ta có thể kết luận rằng R = K là giao hoán.
Hãy chọn một cơ sở e₁, …, eₙ của R ≅ Fⁿ trên F. Phép nhân μ: Fⁿ × Fⁿ → Fⁿ, μ(a, b) = ab là một ánh xạ song tuyến tính, do đó được cho bởi một ánh xạ đa thức với các mục đồng nhất bậc 2. Đặc biệt, với bất kỳ d nào, ánh xạ (a, b) ↦ (ab)ᵈ - (ba)ᵈ được cho theo từng mục bởi các đa thức đồng nhất bậc 2d, và chúng khác 0 như chúng ta đã chỉ ra trong đoạn trước. Điều này cho thấy rằng các số hạng trong p(ab) - p(ba) = ∑d=1k cd((ab)ᵈ - (ba)ᵈ) là độc lập tuyến tính, vì chúng là các đa thức đồng nhất có bậc khác nhau.
Bằng sự độc lập tuyến tính và thực tế là p(ab) = p(ba) cho tất cả a, b, điều này ngụ ý rằng ci = 0 cho tất cả i > 0, vì vậy p là hằng số. Ở đây, chúng ta ngầm sử dụng rằng F là vô hạn (điều này luôn đúng đối với tâm của một đại số đơn giản tâm không giao hoán theo định lý nhỏ của Wedderburn). Sự phản chứng của những gì chúng ta vừa chỉ ra là nếu p ∈ F[x] không hằng, thì p(ab) - p(ba) không đồng nhất bằng 0 trên R.
Bài toán về việc liệu một đa thức có phân biệt được tích ab và ba trong một vành không giao hoán hay không, dẫn đến những khám phá sâu sắc trong lý thuyết vành. Từ những trường hợp đơn giản với đa thức bậc nhất đến những phân tích phức tạp hơn với đa thức bậc hai và trường tâm, chúng ta thấy rằng sự tồn tại của các phần tử a, b sao cho p(ab) ≠ p(ba) phụ thuộc chặt chẽ vào cấu trúc của vành và đặc tính của đa thức. Những kết quả này không chỉ làm phong phú thêm kiến thức về đại số trừu tượng mà còn mở ra những hướng nghiên cứu mới về vành đồng nhất thức đa thức và các đại số chia.
Hi vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về vấn đề này, đồng thời khơi gợi sự tò mò và mong muốn khám phá sâu hơn trong lĩnh vực đại số.
Bài viết liên quan