Bài viết này đi sâu vào khái niệm kết nối Ehresmann trong hình học vi phân, một công cụ mạnh mẽ cho phép chúng ta xác định khái niệm vận chuyển song song trên các bó sợi. Chúng ta sẽ khám phá cách kết nối này hình thành một không gian con nằm ngang duy nhất và thảo luận về những ứng dụng quan trọng của nó trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và vật lý. Nếu bạn muốn hiểu rõ hơn về một khái niệm trừu tượng nhưng mạnh mẽ, bài viết này là dành cho bạn.
Trong hình học vi phân, một kết nối Ehresmann là một khái quát của khái niệm kết nối cho các bó sợi. Thay vì dựa vào cấu trúc không gian vectơ như trong kết nối tuyến tính, kết nối Ehresmann xác định một khái niệm "phương ngang" tại mỗi điểm trong không gian tổng của bó sợi. Điều này cho phép chúng ta định nghĩa vận chuyển song song dọc theo các đường cong trên không gian cơ sở.
Một cách chính thức, xét một bó sợi trơn tru (E, π, M), trong đó E là đa tạp tổng, M là đa tạp cơ sở, và π: E → M là phép chiếu bó. Kết nối Ehresmann là sự lựa chọn của không gian con nằm ngang Hp ⊂ TpE cho mỗi p ∈ E, sao cho TpE = Hp ⊕ Vp, trong đó Vp là không gian thẳng đứng, tức là không gian tiếp tuyến với sợi tại p.
Câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào kết nối Ehresmann, thông qua dạng kết nối ω, xác định một sự lựa chọn duy nhất của không gian con nằm ngang, vốn là hạt nhân của dạng kết nối đó? Để trả lời, chúng ta cần hiểu rõ hơn về vai trò của dạng kết nối.
Dạng kết nối ω là một ánh xạ cho mỗi vectơ tiếp tuyến thành phần thẳng đứng của nó. Tuy nhiên, thành phần thẳng đứng này chỉ được xác định tương ứng với một phép phân tích trực tiếp TE = HE ⊕ VE. Nếu không có sự phân tích này, không có cái gọi là "thành phần thẳng đứng duy nhất".
Việc chọn một kết nối khác nhau sẽ gửi cùng một vectơ đến các thành phần thẳng đứng khác nhau. Ví dụ, trong không gian vectơ 2 chiều, cố định một đường thẳng làm thành phần thẳng đứng và chọn các không gian con nằm ngang khác nhau. Bạn sẽ thấy rằng cùng một vectơ sẽ có các thành phần thẳng đứng khác nhau tùy thuộc vào sự lựa chọn của không gian con nằm ngang.
Một cách tiếp cận sâu sắc hơn để hiểu vấn đề này là thông qua khái niệm về dãy chính xác và bổ dọc. Xét dãy chính xác của các bó vectơ trơn tru trên E:
0 → ker(dπ) →i TE →j π*(TM) → 0
Trong đó dπ: TE → TM, ker(dπ) ⊆ TE là bó thẳng đứng, i là ánh xạ bao hàm, và π*(TM) là bó kéo lùi của TM bởi π. Dãy này biểu diễn mối quan hệ giữa các bó tiếp tuyến của không gian tổng và không gian cơ sở.
Một kết nối là một sự tách (split) của dãy này. Trong phạm trù các bó vectơ, mọi dãy chính xác đều tách (splits). Sự tách này có thể được biểu diễn bằng một trong ba cách tương đương:
Ba cách này là tương đương. Cách đầu tiên tương đương với một đạo hàm hiệp biến, cách thứ hai hiểu bó tiếp tuyến TE như là tổng trực tiếp của một bó con nằm ngang H = σ(π*(TM)) và bó thẳng đứng V = ker(dπ): TE ≅ H ⊕ V. Lưu ý rằng bó nằm ngang không chỉ là "phần còn lại" của TE, mà là một sự nâng của bó tiếp tuyến TM lên TE cho mỗi điểm của E. Mặc dù sự tách này luôn tồn tại, nó không phải là chính tắc, vì vậy có nhiều lựa chọn không tương đương.
Cách thứ ba tương ứng với khái niệm của bạn về một phép chiếu lên bó thẳng đứng hoặc một dạng Ehresmann.
Kết quả bạn muốn là một phần của bổ đề tách, hãy tìm hiểu thêm về nó. Phần bạn quan tâm là 3 ⟹ 2, vì vậy:
Định nghĩa H = ker(ω). Vì ω ∘ i = 1ker(dπ), ta thấy rằng ω là toàn ánh, do đó im(ω) = ω(TE) = ker(dπ) = V. Điều này ngụ ý rằng với e ∈ E, sử dụng định lý đẳng cấu của không gian vectơ, ta có:
TeE ≅ ker(ω)e ⊕ im(ω)e = He ⊕ Ve
Vì ω là trơn tru, H = im(ω) ⊆ TE là một phân bố trơn tru. Vì đẳng cấu điểm khôn ngoan ở trên, ta biết rằng dim(He) = rk(TE) − rk(V), vì vậy phân bố này là chính quy, ngụ ý H cũng là một bó vectơ:
πTE|H: H ⊆ TE → E
Cuối cùng, đẳng cấu điểm khôn ngoan của chúng ta mở rộng thành một đẳng cấu bó vectơ trơn tru với cơ sở cố định E:
TE ≅ H ⊕ V
Kết nối Ehresmann không chỉ là một khái niệm lý thuyết. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong:
Kết nối Ehresmann là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vi phân, cho phép chúng ta xác định khái niệm vận chuyển song song trên các bó sợi. Bằng cách hiểu rõ về cấu trúc và các tính chất của kết nối này, chúng ta có thể khám phá những mối liên hệ sâu sắc giữa hình học, tô pô và vật lý.
Bài viết liên quan