Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải một bài toán lượng giác hóc búa, tìm giá trị của x và y trong một biểu thức chứa các hàm tan với các góc đặc biệt. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các kỹ thuật biến đổi lượng giác, áp dụng các công thức liên quan và sử dụng một số mẹo để đơn giản hóa bài toán. Nếu bạn đang gặp khó khăn với dạng bài này, đây chính là bài viết dành cho bạn!
Bài toán đặt ra là tìm x và y sao cho phương trình sau đúng:
tan(8°)/(1-3tan²(8°)) + 3tan(24°)/(1-3tan²(24°)) + 9tan(72°)/(1-3tan²(72°)) + 27tan(216°)/(1-3tan²(216°)) = xtan(108°) + ytan(8°)
Vấn đề nằm ở chỗ làm sao đơn giản hóa vế trái của phương trình để có thể so sánh và tìm ra x và y. **Biến đổi lượng giác** là chìa khóa ở đây, nhưng cần áp dụng một cách khéo léo.
Công thức tan(3x) = (3tan(x) - tan³(x)) / (1 - 3tan²(x)) là một công cụ quan trọng. Tuy nhiên, biểu thức của chúng ta có dạng hơi khác. Ta cần biến đổi một chút để có thể áp dụng được. Cụ thể, ta có thể nhận thấy mỗi thành phần trong vế trái có dạng tương tự như một phần của công thức nhân ba này.
Ví dụ, xét thành phần đầu tiên: tan(8°)/(1-3tan²(8°)). Nếu nhân cả tử và mẫu với 3, ta sẽ có 3tan(8°)/(3 - 9tan²(8°)), vẫn chưa giống công thức tan(3x). Tuy nhiên, việc nhận ra mối liên hệ này là bước đầu tiên quan trọng.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng một mẹo nhỏ: tan(8°)/(1-3tan²(8°)) = (1/8) * [3tan(24°) - tan(8°)]. Biến đổi này có vẻ phức tạp, nhưng nó giúp ta triệt tiêu dần các thành phần.
Tương tự, ta có thể biến đổi các thành phần còn lại:
Cộng tất cả các biểu thức này lại, ta thấy có sự triệt tiêu đáng kể. Lưu ý rằng tan(648°) = tan(108°) (do 648° ≡ 108° mod 180°).
Sau khi triệt tiêu và rút gọn, vế trái của phương trình trở thành: (-1/8)tan(8°) + (81/8)tan(108°).
So sánh với vế phải xtan(108°) + ytan(8°), ta có:
Vậy, giá trị của x và y lần lượt là 81/8 và -1/8. Đây là một bài toán thú vị đòi hỏi sự am hiểu về các công thức lượng giác và kỹ năng biến đổi linh hoạt.
Bài viết liên quan