Giải Phương Trình Diophantine a² + b² = c² + d²: Phương Pháp & Ví Dụ Chi Tiết

Phương trình Diophantine dạng a² + b² = c² + d² là một bài toán thú vị trong lĩnh vực lý thuyết số. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về phương trình này, các phương pháp giải quyết, và các ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các cách tiếp cận khác nhau để tìm ra các nghiệm nguyên của phương trình, đồng thời làm rõ những điểm quan trọng cần lưu ý. Đây là một chủ đề hữu ích cho bất kỳ ai yêu thích số học và muốn nâng cao kiến thức của mình.

Phương Trình Diophantine Là Gì?

Trước khi đi sâu vào phương trình a² + b² = c² + d², hãy cùng tìm hiểu về phương trình Diophantine nói chung. Phương trình Diophantine là một phương trình đa thức với các hệ số nguyên, và chúng ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên (nghĩa là các nghiệm là số nguyên). Các bài toán Diophantine thường rất khó giải và đòi hỏi những kỹ thuật đặc biệt trong lý thuyết số.

Phương Pháp Tham Số Hóa Quadric

Một phương pháp mạnh mẽ để giải phương trình a² + b² = c² + d² là sử dụng tham số hóa quadric. Phương pháp này liên quan đến việc tìm một biểu thức tổng quát cho các nghiệm dựa trên các tham số tùy ý. Một cách tham số hóa phổ biến là:

• a = pr + qs
• b = qr - ps
• c = pr - qs
• d = ps + qr

Trong đó p, q, r, và s là các số nguyên tùy ý. Bạn có thể dễ dàng kiểm chứng rằng với bất kỳ giá trị nào của p, q, r, và s, bộ số (a, b, c, d) tạo thành một nghiệm của phương trình a² + b² = c² + d².

Sử Dụng Số Phức

Một cách tiếp cận khác là sử dụng số phức. Xét hai số phức u = p + qi và v = r + si, trong đó p, q, r, và s là các số nguyên. Khi đó, ta có:

|uv̄| = |u||v̄| = |u||v| = |uv|

Bình phương cả hai vế và tính toán các norm một cách tường minh, ta được:

(pr + qs)² + (qr - ps)² = (pr - qs)² + (ps + qr)²

Đây chính là phương trình a² + b² = c² + d², với a, b, c, d được định nghĩa như ở phương pháp tham số hóa quadric.

Phân Tích Thừa Số Nguyên Tố và Đồng Dư

Phân tích thừa số nguyên tố và sử dụng đồng dư thức cũng là những công cụ hữu ích. Giả sử N là một số nguyên dương có phân tích thừa số nguyên tố như sau:

N = 2^a * ∏_i=1^m p_i^b_i * ∏_j=1ⁿ q_j^c_j

Trong đó p_i là các số nguyên tố phân biệt đồng dư với 1 mod 4, và q_j là các số nguyên tố phân biệt đồng dư với -1 mod 4.

Nếu ít nhất một c_j là số lẻ, thì N không thể biểu diễn thành tổng của hai bình phương. Nếu tất cả c_j đều là số chẵn, thì số cách biểu diễn N thành tổng của hai bình phương là:

f(N) = 4 * ∏_i=1^m (b_i + 1)

Công thức này cho biết số lượng nghiệm của phương trình a² + b² = c² + d² = N, với điều kiện chỉ sử dụng số nguyên không âm và xét đến thứ tự.

Ví Dụ Minh Họa

Xét N = 65. Ta có 65 = 5 * 13 = (1² + 2²)(2² + 3²). Áp dụng đồng nhất thức Brahmagupta:

(s² + t²)(u² + v²) = (su + tv)² + (sv - tu)²

Với s = 1, t = 2, u = 2, v = 3, ta được:

65 = (1*2 + 2*3)² + (1*3 - 2*2)² = 8² + (-1)² = 8² + 1²

Hoặc:

65 = (1*2 - 2*3)² + (1*3 + 2*2)² = (-4)² + (7)² = 4² + 7²

Vậy, 65 = 8² + 1² = 4² + 7².

Kết Luận

Phương trình Diophantine a² + b² = c² + d² có vô số nghiệm nguyên, và có nhiều phương pháp để tìm ra các nghiệm này. Từ tham số hóa quadric, sử dụng số phức, đến phân tích thừa số nguyên tố và đồng dư thức, mỗi phương pháp đều mang lại những góc nhìn và công cụ riêng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện và giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán thú vị này.