Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tiếp cận và giải quyết một bài toán tổ hợp thú vị liên quan đến việc tô màu một bảng 1xn. Chúng ta sẽ sử dụng công cụ mạnh mẽ là **hàm sinh mũ (Exponential Generating Function - EGF)** để tìm ra một biểu thức đóng cho số cách tô màu bảng thỏa mãn các điều kiện cụ thể. Nếu bạn đang gặp khó khăn với các bài toán đếm và tổ hợp, đây là một hướng dẫn hữu ích để mở rộng kiến thức của bạn.
Cho một bảng 1xn, chúng ta muốn tô màu mỗi ô vuông bằng một trong ba màu: đỏ, trắng và xanh dương. Điều kiện là mỗi màu phải xuất hiện một số lần khác không và là một số chẵn. Mục tiêu là tìm một công thức tổng quát để tính số cách tô màu thỏa mãn các điều kiện này, ký hiệu là hn.
**Hàm sinh mũ** là một công cụ mạnh mẽ trong tổ hợp để giải quyết các bài toán đếm, đặc biệt khi có các ràng buộc về số lần xuất hiện của các phần tử. Ý tưởng chính là biểu diễn số lượng các cấu hình thỏa mãn điều kiện bằng một chuỗi lũy thừa, trong đó hệ số của xn/n! chính là số lượng cấu hình có kích thước n.
Vì mỗi màu phải xuất hiện một số lần chẵn và khác không, ta có thể xây dựng **EGF** cho mỗi màu như sau:
GR(x) = GW(x) = GB(x) = (ex + e-x)/2 - 1
Giải thích: ex = Σ xn/n! đại diện cho tất cả các khả năng (số lần xuất hiện của màu là 0, 1, 2,...). e-x = Σ (-x)n/n! khi cộng lại và chia 2, chúng ta chỉ giữ lại các số hạng bậc chẵn (0, 2, 4,...). Cuối cùng, trừ 1 để loại bỏ trường hợp số lần xuất hiện là 0.
Để tìm **EGF** cho toàn bộ bài toán, ta nhân các **EGF** của từng màu lại với nhau:
g(x) = (GR(x))3 = ((ex + e-x)/2 - 1)3
Khai triển biểu thức này, ta được:
g(x) = (e-3x - 6e-2x + 15e-x + 15ex - 6e2x + e3x - 20) / 8
Một vấn đề thường gặp khi sử dụng **EGF** là sự xuất hiện của các số mũ âm. Trong trường hợp này, chúng ta cần hiểu rằng e-kx tương ứng với việc "trừ" đi k phần tử. Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta chỉ quan tâm đến hệ số của xn/n!, đại diện cho số cách tô màu bảng có kích thước n.
Để tìm hn, ta cần tìm hệ số của xn/n! trong khai triển của g(x). Sử dụng khai triển Taylor của ekx = Σ (kx)n/n!, ta có thể thu được công thức cho hn.
Từ khai triển của g(x), ta có:
hn = ((-3)n - 6(-2)n + 15(-1)n + 15(1)n - 6(2)n + (3)n) / 8
Đây là công thức đóng cho hn, cho phép chúng ta tính số cách tô màu bảng 1xn thỏa mãn các điều kiện đã cho một cách trực tiếp.
Bài toán tô màu bảng 1xn với các ràng buộc về số lần xuất hiện của mỗi màu là một ví dụ điển hình về cách sử dụng **hàm sinh mũ** để giải quyết các bài toán tổ hợp. Việc xây dựng **EGF** phù hợp và xử lý các số mũ âm là những kỹ năng quan trọng cần nắm vững khi làm việc với phương pháp này. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và dễ hiểu về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán tương tự.
Bài viết liên quan