Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm functor quên (forgetful functor) trong lý thuyết phạm trù, đặc biệt tập trung vào các trường hợp mà functor này *không* bảo toàn tính đơn ánh (monomorphism). Chúng ta sẽ khám phá các ví dụ cụ thể và thảo luận về ý nghĩa của chúng trong bối cảnh đại số trừu tượng và các lĩnh vực toán học liên quan. Nếu bạn đang tìm kiếm một lời giải thích dễ hiểu về một chủ đề trừu tượng trong toán học, bài viết này là dành cho bạn.
Một functor quên, như tên gọi của nó, là một functor "quên đi" một số cấu trúc hoặc tính chất của đối tượng toán học. Ví dụ, functor từ phạm trù nhóm (Groups) đến phạm trù tập hợp (Sets) quên đi phép toán nhóm và chỉ giữ lại tập hợp các phần tử. Nói cách khác, nó biến một nhóm thành tập hợp các phần tử của nó.
Một ví dụ khác là functor từ phạm trù không gian vector đến phạm trù tập hợp, functor này quên đi cấu trúc không gian vector và chỉ giữ lại tập hợp các vector. Các functor quên rất phổ biến trong toán học và thường được sử dụng để liên kết các cấu trúc khác nhau.
Trong lý thuyết phạm trù, một mũi tên đơn ánh (monomorphism) là một mũi tên f: A → B sao cho với mọi mũi tên g, h: C → A, nếu f ∘ g = f ∘ h thì g = h. Trong phạm trù tập hợp, đơn ánh tương ứng với các hàm đơn ánh (injective function).
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: liệu một functor có bảo toàn tính đơn ánh hay không? Nói cách khác, nếu f là một đơn ánh trong phạm trù C, thì liệu U(f) có phải là một đơn ánh trong phạm trù D, với U là một functor từ C đến D? Câu trả lời là không phải lúc nào cũng vậy.
Chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể để minh họa trường hợp functor quên không bảo toàn tính đơn ánh.
Xét functor quên từ phạm trù các bó (sheaves) của các nhóm abel đến phạm trù các tiền bó (presheaves) trên một không gian tô pô không tầm thường. Phép nhúng từ một bó vào một tiền bó tương ứng *không* bảo toàn tính toàn ánh (epimorphism). Do đó, lấy phạm trù đối ngẫu (opposite category) sẽ cho ta một ví dụ về functor quên *không* bảo toàn tính đơn ánh.
Trong trường hợp này, các bó có thể được xem như là monadic trên các tiền bó, do đó ví dụ này có thể được coi là một trường hợp của một functor quên.
Xem xét phạm trù các vành (Rings) như là các phạm trù cộng tính một đối tượng (one-object additive categories), trong đó các đơn ánh tương ứng với các phần tử chính quy bên trái (left regular elements). Xét phép nhúng một vành con C vào một vành D. Để có một phản ví dụ, ta cần một vành D và một vành con C sao cho một phần tử chính quy bên trái của C trở thành một ước của 0 bên trái (left-zero-divisor) trong D.
Ví dụ, cho D = Z[x, y]/(xy) và C = Z[x], thì x là chính quy trong C nhưng là một ước của 0 trong D. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng C phải là một vành con unital, nếu không phép nhúng sẽ không phải là một functor.
Việc một functor quên không bảo toàn tính đơn ánh cho thấy rằng cấu trúc mà functor đó "quên đi" đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của các đối tượng. Nói cách khác, thông tin bị mất đi có thể ảnh hưởng đến các tính chất đại số của các đối tượng.
Trong ví dụ về bó và tiền bó, cấu trúc tô pô của không gian cơ sở (base space) ảnh hưởng đến việc bảo toàn tính chất của các ánh xạ. Trong ví dụ về vành con, mối quan hệ giữa các phần tử trong vành lớn hơn (D) ảnh hưởng đến tính chính quy của các phần tử trong vành con (C).
Bài viết này đã trình bày một số ví dụ về functor quên không bảo toàn tính đơn ánh. Những ví dụ này minh họa tầm quan trọng của việc xem xét cấu trúc đầy đủ của các đối tượng toán học khi nghiên cứu các tính chất của chúng. Lý thuyết phạm trù cung cấp một công cụ mạnh mẽ để hiểu mối quan hệ giữa các cấu trúc khác nhau, và việc nghiên cứu các functor quên giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vai trò của từng thành phần trong các cấu trúc đó.
Bài viết liên quan