Trong thế giới hình học vi phân, định lý Theorema Egregium (tiếng Latin có nghĩa là "Định lý Đáng Chú Ý") của Carl Friedrich Gauss là một kết quả then chốt. Bài viết này sẽ đi sâu vào định lý này, giải thích ý nghĩa, ứng dụng và lý do tại sao nó lại quan trọng trong việc nghiên cứu các mặt cong.
Định lý Theorema Egregium phát biểu rằng độ cong Gauss của một mặt là một tính chất nội tại. Điều này có nghĩa là nó có thể được xác định hoàn toàn bằng cách đo khoảng cách và góc trên chính bề mặt đó, mà không cần tham chiếu đến cách bề mặt được nhúng vào không gian ba chiều xung quanh. Nói cách khác, nếu bạn uốn cong một tờ giấy mà không kéo giãn hoặc xé nó, độ cong Gauss tại mỗi điểm sẽ không thay đổi.
Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Một mặt phẳng có độ cong Gauss bằng 0. Bạn có thể uốn cong hoặc cuộn một tờ giấy (tức là mặt phẳng) thành một hình trụ mà không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm trên tờ giấy. Do đó, độ cong Gauss vẫn bằng 0. Ngược lại, một hình cầu có độ cong Gauss dương không đổi. Bạn không thể trải phẳng một phần của hình cầu lên một mặt phẳng mà không làm biến dạng khoảng cách – đây là lý do tại sao bản đồ luôn có sự sai lệch.
Định lý cũng có thể được phát biểu: Độ cong Gauss của một mặt là bất biến dưới phép đẳng cự cục bộ. Phép đẳng cự (isometry) là một phép biến đổi bảo toàn khoảng cách. Một phép đẳng cự cục bộ là một phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong một vùng nhỏ của bề mặt. Theorema Egregium đảm bảo rằng nếu hai bề mặt đẳng cự cục bộ với nhau, chúng sẽ có cùng độ cong Gauss tại các điểm tương ứng.
Tầm quan trọng của Theorema Egregium nằm ở chỗ nó kết nối hình học nội tại của một mặt với hình học bên ngoài của nó. Nó cho phép chúng ta hiểu các thuộc tính của một bề mặt chỉ bằng cách nghiên cứu các phép đo bên trong nó, bất kể cách nó được nhúng trong không gian lớn hơn. Điều này có những ứng dụng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực:
Mặc dù ban đầu được chứng minh cho các bề mặt trong không gian Euclid ba chiều, khái niệm về Theorema Egregium có thể được tổng quát hóa cho các đa tạp Riemannian. Trong bối cảnh tổng quát hơn, nó liên quan đến tensor độ cong Riemann, một đối tượng toán học mô tả độ cong của không gian. Các thành phần của tensor độ cong Riemann có thể được tính toán chỉ bằng cách sử dụng metric (tensor tích trong) của đa tạp, do đó làm cho độ cong trở thành một thuộc tính nội tại.
Một ví dụ về một đa tạp Riemannian là không gian hyperbolic, một không gian không Euclid với độ cong không đổi âm. Giống như hình cầu, không gian hyperbolic không thể nhúng đẳng cự vào không gian Euclid ba chiều. Tuy nhiên, hình học của nó có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng các khái niệm tương tự như độ cong Gauss và tensor độ cong Riemann.
Theorema Egregium là một kết quả sâu sắc trong hình học vi phân, cung cấp một liên kết quan trọng giữa hình học nội tại và hình học bên ngoài của các mặt. Khám phá của Gauss tiếp tục định hình sự hiểu biết của chúng ta về không gian và độ cong, với những ảnh hưởng lan rộng trên nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Bài viết liên quan