Bài viết này khám phá mối liên hệ sâu sắc giữa các khái niệm vô cùng bé của Nieuwentijt và các vô cùng bé nilsquare trong Phân Tích Vô Cùng Bé Trơn Tru (Smooth Infinitesimal Analysis - SIA). Chúng ta sẽ đi sâu vào bối cảnh lịch sử và nền tảng toán học, từ đó làm sáng tỏ liệu những ý tưởng ban đầu của Nieuwentijt có thực sự là tiền đề cho sự phát triển của SIA hay không. Mục tiêu là mang đến một cái nhìn toàn diện và dễ hiểu về những khái niệm trừu tượng này.
Khái niệm vô cùng bé đã xuất hiện từ lâu trong lịch sử toán học, với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Tuy nhiên, một định nghĩa chung là một số lượng khác không nhưng lại gần 0 hơn bất kỳ số thực khác không nào. Những số này không tồn tại trong hệ thống số thực tiêu chuẩn, nhưng lại đóng vai trò quan trọng trong các hệ thống số mở rộng như số siêu thực và số siêu thực.
Nieuwentijt, một nhà toán học thế kỷ 17, đã đưa ra một cách tiếp cận riêng về vô cùng bé. Cách tiếp cận này, mặc dù có những hạn chế, đã gợi mở những ý tưởng quan trọng cho sự phát triển sau này của giải tích. Để hiểu rõ hơn về đóng góp của ông, chúng ta cần xem xét kỹ hơn những đặc điểm chính trong cách tiếp cận của Nieuwentijt.
Cách tiếp cận của Nieuwentijt có một số đặc điểm nổi bật, bao gồm:
Trong số những đặc điểm này, chỉ có đặc điểm thứ ba, vô cùng bé nilsquare, là phù hợp với Smooth Infinitesimal Analysis (SIA). Các quy trình của Nieuwentijt không tương thích với Luật Liên Tục của Leibniz. Một trong những công thức của luật này là: "các quy luật của hữu hạn thành công trong vô hạn, và ngược lại".
"Quy luật của hữu hạn" rằng "một số khác không có một bình phương khác không" rõ ràng bị vi phạm trong sơ đồ của Nieuwentijt. Luật Liên Tục của Leibniz đã được chính thức hóa như là Nguyên Tắc Chuyển Giao trong Phân Tích Phi Tiêu Chuẩn của Robinson.
Smooth Infinitesimal Analysis (SIA) là một cách tiếp cận giải tích sử dụng các khái niệm từ lý thuyết phạm trù để xây dựng một hệ thống trong đó vô cùng bé là những phần tử khác không, nhưng bình phương của chúng bằng không (vô cùng bé nilsquare). Điều này khác biệt so với cách tiếp cận truyền thống của giải tích, vốn dựa trên giới hạn và tránh sử dụng trực tiếp vô cùng bé.
Một trong những nền tảng của SIA là việc từ chối luật loại trừ ở giữa. Điều này cho phép sự tồn tại của các đối tượng mà không thể xác định rõ ràng là bằng hoặc khác không. Vô cùng bé nilsquare là một ví dụ điển hình, thỏa mãn x2 = 0 nhưng x không nhất thiết phải bằng 0.
Mặc dù Nieuwentijt không phát triển một hệ thống giải tích hoàn chỉnh như SIA, ý tưởng về vô cùng bé nilsquare của ông đã cung cấp một nền tảng quan trọng. Việc ông chấp nhận những đối tượng có bình phương bằng không đã mở ra một hướng đi mới trong việc suy nghĩ về vô cùng bé, một hướng đi mà sau này được SIA khai thác một cách triệt để.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng cách tiếp cận của Nieuwentijt còn nhiều hạn chế. Ông không có khái niệm về luật loại trừ ở giữa bị từ chối, và hệ thống của ông thiếu tính chặt chẽ cần thiết để xây dựng một lý thuyết giải tích hoàn chỉnh. Do đó, mặc dù Nieuwentijt có thể được coi là một tiền đề, SIA đã phát triển theo một hướng đi riêng, dựa trên các công cụ và ý tưởng hiện đại từ lý thuyết phạm trù và logic trực giác.
SIA bắt nguồn từ công trình của William Lawvere và các nhà toán học khác, những người đã tìm cách xây dựng một nền tảng giải tích dựa trên lý thuyết phạm trù. Thay vì bắt đầu với các số thực và giới hạn, SIA bắt đầu với khái niệm về một "không gian trơn tru", trong đó mọi hàm số đều có thể vi phân được. Điều này cho phép sử dụng vô cùng bé một cách tự nhiên và trực quan hơn.
Trong SIA, vô cùng bé nilsquare đóng vai trò là "viên gạch" cơ bản để xây dựng các khái niệm giải tích. Chúng cho phép định nghĩa đạo hàm và tích phân một cách trực tiếp hơn, mà không cần đến các quy trình giới hạn phức tạp. Cách tiếp cận này đã dẫn đến những hiểu biết sâu sắc mới về giải tích và các ứng dụng của nó trong vật lý và các lĩnh vực khác.
Mặc dù không phải là một sự kế thừa trực tiếp, cách tiếp cận vô cùng bé của Nieuwentijt, đặc biệt là ý tưởng về vô cùng bé nilsquare, đã cung cấp một nguồn cảm hứng quan trọng cho sự phát triển của Smooth Infinitesimal Analysis (SIA). SIA, với nền tảng lý thuyết phạm trù và logic trực giác, đã vượt xa những hạn chế của Nieuwentijt, tạo ra một hệ thống giải tích mạnh mẽ và chặt chẽ, mang đến một góc nhìn mới về các khái niệm cơ bản của toán học.
Bài viết liên quan