Định lý hàm ẩn (Implicit Function Theorem) là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích đa biến, cho phép chúng ta chuyển đổi các quan hệ (relations) thành các hàm số (functions) của nhiều biến thực. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan dễ hiểu về định lý này, từ lịch sử phát triển, các trường hợp đặc biệt, đến các ứng dụng thực tế. Chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm cốt lõi, đồng thời tránh sử dụng quá nhiều thuật ngữ phức tạp để đảm bảo rằng bạn có thể nắm bắt thông tin một cách dễ dàng.
Định lý hàm ẩn cho phép chúng ta biểu diễn một quan hệ cho trước dưới dạng đồ thị của một hàm số. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có một hàm số duy nhất có thể biểu diễn toàn bộ quan hệ. Thay vào đó, định lý cung cấp một điều kiện đủ để đảm bảo rằng có một hàm số như vậy trên một miền (domain) bị giới hạn của quan hệ.
Nói một cách chính xác hơn, xét một hệ gồm *m* phương trình: fi(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0, với i = 1, ..., m, thường được viết gọn là F(x, y) = 0. Định lý hàm ẩn nói rằng, dưới một điều kiện nhất định về đạo hàm riêng (partial derivatives) của F theo các biến yi tại một điểm, các biến yi này có thể được biểu diễn như là các hàm khả vi của các biến xj trong một lân cận (neighborhood) của điểm đó. Vì các hàm này thường không thể biểu diễn dưới dạng tường minh (closed form), chúng được định nghĩa một cách ẩn (implicitly), và đó là lý do cho tên gọi của định lý. Điều kiện này liên quan đến **ma trận Jacobian**.
Công lao xây dựng dạng chặt chẽ đầu tiên của định lý hàm ẩn thuộc về Augustin-Louis Cauchy (1789–1857). Sau đó, Ulisse Dini (1845–1918) đã tổng quát hóa phiên bản biến thực của định lý hàm ẩn cho trường hợp hàm số của bất kỳ số lượng biến thực nào. Điều này cho thấy sự phát triển dần dần từ các trường hợp đơn giản đến các dạng tổng quát hơn, giúp định lý trở thành một công cụ mạnh mẽ hơn trong giải tích.
Xét một hàm số f: ℝ2 → ℝ khả vi liên tục, định nghĩa phương trình ẩn của một đường cong: f(x, y) = 0. Giả sử (x0, y0) là một điểm nằm trên đường cong đó, tức là f(x0, y0) = 0. Trong trường hợp đơn giản này, định lý hàm ẩn có thể được phát biểu như sau:
Định lý: Nếu f(x, y) là một hàm khả vi liên tục trong một lân cận của điểm (x0, y0), và ∂f/∂y (x0, y0) ≠ 0, thì tồn tại một hàm khả vi duy nhất φ sao cho y0 = φ(x0) và f(x, φ(x)) = 0 trong một lân cận của x0.
Bằng cách lấy đạo hàm của phương trình f(x, φ(x)) = 0, ta có thể tìm được đạo hàm của φ(x):
φ'(x) = - (∂f/∂x (x, φ(x))) / (∂f/∂y (x, φ(x))).
Điều này cho ta một phương trình vi phân thường (ordinary differential equation) cho φ, với điều kiện ban đầu φ(x0) = y0. Vì ∂f/∂y (x0, y0) ≠ 0, vế phải của phương trình vi phân là liên tục và bị chặn trên một khoảng đóng xung quanh x0. Do đó, định lý Cauchy-Lipschitz có thể được áp dụng để chứng minh sự tồn tại của một nghiệm duy nhất.
Đường tròn đơn vị với phương trình ẩn x2 + y2 – 1 = 0 không thể được biểu diễn hoàn toàn như là đồ thị của một hàm số. Điều này xảy ra vì với mỗi giá trị x trong khoảng (-1, 1), có hai giá trị y tương ứng: ±√(1 - x2). Tuy nhiên, chúng ta có thể biểu diễn *một phần* của đường tròn dưới dạng đồ thị của một hàm số.
Ví dụ, nếu ta đặt g1(x) = √(1 - x2) với -1 ≤ x ≤ 1, thì đồ thị của y = g1(x) sẽ cho ta nửa trên của đường tròn. Tương tự, nếu g2(x) = -√(1 - x2), thì đồ thị của y = g2(x) sẽ cho ta nửa dưới của đường tròn. Định lý hàm ẩn cho chúng ta biết rằng các hàm như g1(x) và g2(x) *hầu như luôn* tồn tại, ngay cả trong các tình huống mà chúng ta không thể viết ra các công thức tường minh. Nó đảm bảo rằng g1(x) và g2(x) là khả vi, và nó thậm chí còn hoạt động trong các tình huống mà chúng ta không có công thức cho f(x, y).
Xét hàm số f: ℝn+m → ℝm khả vi liên tục. Ta xem ℝn+m như là tích Descartes ℝn × ℝm, và viết một điểm của tích này là (x, y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym). Mục tiêu của chúng ta là xây dựng một hàm số g: ℝn → ℝm sao cho đồ thị (x, g(x)) chính xác là tập hợp tất cả các (x, y) sao cho f(x, y) = 0. Chọn một điểm (a, b) = (a1, ..., an, b1, ..., bm) sao cho f(a, b) = 0, và ta tìm một hàm g hoạt động gần điểm (a, b).
Để phát biểu định lý hàm ẩn, ta cần ma trận Jacobian của f. Ma trận Jacobian tại điểm (a, b) là:
(Df)(a, b) = [∂fi/∂xj(a, b) | ∂fi/∂yj(a, b)] = [X | Y],
trong đó X là ma trận đạo hàm riêng theo các biến xi và Y là ma trận đạo hàm riêng theo các biến yj. Định lý hàm ẩn nói rằng nếu Y là một ma trận khả nghịch (invertible), thì tồn tại các tập mở U ⊂ ℝn chứa a, V ⊂ ℝm chứa b, và một hàm g: U → V sao cho đồ thị của g thỏa mãn quan hệ f = 0 trên U × V, và không có điểm nào khác trong U × V làm được điều này.
Phát biểu của Định lý: Cho f: ℝn+m → ℝm là một hàm khả vi liên tục, và cho ℝn+m có tọa độ (x, y). Chọn một điểm (a, b) = (a1, ..., an, b1, ..., bm) sao cho f(a, b) = 0, với 0 ∈ ℝm là vector không. Nếu ma trận Jacobian Jf,y(a, b) = [∂fi/∂yj(a, b)] là khả nghịch, thì tồn tại một tập mở U ⊂ ℝn chứa a sao cho tồn tại một hàm duy nhất g: U → ℝm sao cho g(a) = b, và f(x, g(x)) = 0 với mọi x ∈ U. Hơn nữa, g là khả vi liên tục và ma trận Jacobian của các đạo hàm riêng của g trong U được cho bởi:
[∂gi/∂xj(x)] = - [Jf,y(x, g(x))]-1 [Jf,x(x, g(x))].
Giả sử ta có một không gian *m*-chiều, tham số hóa bởi một tập hợp các tọa độ (x1, ..., xm). Ta có thể giới thiệu một hệ tọa độ mới (x'1, ..., x'm) bằng cách cung cấp *m* hàm số h1, ..., hm, mỗi hàm là khả vi liên tục. Các hàm này cho phép chúng ta tính toán các tọa độ mới (x'1, ..., x'm) của một điểm, khi biết các tọa độ cũ (x1, ..., xm) của điểm đó:
x'1 = h1(x1, ..., xm), ..., x'm = hm(x1, ..., xm).
Ta có thể muốn kiểm tra xem liệu điều ngược lại có thể thực hiện được hay không: khi biết các tọa độ (x'1, ..., x'm), ta có thể "quay lại" và tính toán các tọa độ gốc (x1, ..., xm) của cùng một điểm không? Định lý hàm ẩn sẽ cung cấp một câu trả lời cho câu hỏi này. Các tọa độ (mới và cũ) (x'1, ..., x'm, x1, ..., xm) có liên quan bởi f = 0, với
f(x'1, ..., x'm, x1, ..., xm) = (h1(x1, ..., xm) - x'1, ..., hm(x1, ..., xm) - x'm).
Ma trận Jacobian của f tại một điểm (a, b) được cho bởi:
(Df)(a, b) = [-Im | J],
trong đó Im ký hiệu ma trận đơn vị *m* × *m*, và J là ma trận *m* × *m* của các đạo hàm riêng, được tính tại (a, b). Định lý hàm ẩn nói rằng chúng ta có thể biểu diễn (x1, ..., xm) như là một hàm của (x'1, ..., x'm) nếu J là khả nghịch. Yêu cầu J là khả nghịch tương đương với det J ≠ 0, do đó ta thấy rằng chúng ta có thể quay lại từ các tọa độ được gạch tới các tọa độ không được gạch nếu định thức của Jacobian J khác không. Phát biểu này còn được gọi là định lý hàm ngược.
Định lý hàm ẩn là một công cụ nền tảng trong giải tích đa biến, cung cấp một phương pháp để suy ra sự tồn tại và tính chất của các hàm số được định nghĩa một cách ẩn từ các phương trình. Bằng cách kiểm tra các điều kiện trên đạo hàm riêng, chúng ta có thể xác định xem một quan hệ có thể được biểu diễn cục bộ như là đồ thị của một hàm số hay không, và hơn nữa, xác định các đạo hàm của hàm số đó. Từ việc giải các phương trình đến phân tích sự thay đổi tọa độ, định lý hàm ẩn là một công cụ không thể thiếu cho các nhà toán học, nhà vật lý và kỹ sư.
Bài viết liên quan