Bạn đã bao giờ nghe đến số taxi, hay chính xác hơn là số taxi tổng quát? Đây không chỉ là một con số thông thường, mà còn là một khái niệm thú vị trong lý thuyết số, ẩn chứa nhiều điều bất ngờ và những bài toán chưa có lời giải. Bài viết này sẽ đưa bạn vào thế giới của những con số đặc biệt này, từ định nghĩa cơ bản đến những khám phá sâu sắc hơn.
Theo định nghĩa đơn giản, một số taxi là một số nguyên dương nhỏ nhất có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai lập phương dương theo ít nhất hai cách khác nhau. Ví dụ điển hình nhất, và cũng là con số đã làm nên tên tuổi của khái niệm này, chính là 1729.
Số 1729 có thể được viết như sau:
Câu chuyện về số 1729 gắn liền với hai nhà toán học nổi tiếng, G.H. Hardy và Srinivasa Ramanujan. Khi Hardy đến thăm Ramanujan trong bệnh viện, ông đã nhận xét rằng số taxi (1729) là một số "khá vô vị". Ramanujan ngay lập tức đáp lại rằng không, đó là số nhỏ nhất có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai lập phương theo hai cách khác nhau. Từ đó, số 1729 trở thành biểu tượng của số taxi.
Để mở rộng khái niệm số taxi, người ta đưa ra định nghĩa về số taxi tổng quát. Theo đó, Taxicab(k, j, n) là số nhỏ nhất có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của j số mũ dương thứ k theo n cách khác nhau.
Với k=3 và j=2, chúng ta quay trở lại định nghĩa số taxi thông thường. Dưới đây là một vài ví dụ về số taxi tổng quát:
Euler đã chứng minh rằng Taxicab(4, 2, 2) = 635318657.
Điều thú vị là, hiện tại, không ai biết đến bất kỳ số nguyên dương nào có thể được viết thành tổng của hai lũy thừa bậc 5 theo nhiều hơn một cách, và cũng không ai biết liệu một số như vậy có tồn tại hay không.
Nói cách khác, Taxicab(5, 2, n) vẫn chưa được biết đến với bất kỳ n ≥ 2 nào. Liệu có tồn tại số a5 + b5 = c5 + d5 hay không vẫn còn là một câu hỏi mở trong toán học.
Mặc dù có vẻ trừu tượng, số taxi và số taxi tổng quát là đối tượng nghiên cứu trong lý thuyết số và có liên hệ với nhiều lĩnh vực khác. Việc tìm kiếm và phân tích các số này giúp các nhà toán học hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của các số nguyên.
Các nghiên cứu gần đây còn khám phá mối liên hệ giữa số taxi và các hàm phân vùng, cũng như các bất đẳng thức liên quan đến chúng. Những kết quả này không chỉ mang ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Bài viết liên quan