Ảnh Ngược của Ước Số và Phép Co Rút Tương Đương Chiều: Giải thích chi tiết

Bài viết này đi sâu vào một câu hỏi hóc búa trong **hình học đại số**, liên quan đến hành vi của các ước số (divisors) dưới tác động của một phép co rút tương đương chiều. Chúng ta sẽ khám phá xem liệu ảnh của một ước số nguyên tố trên một đa tạp (variety) có nhất thiết phải là một ước số trên ảnh của nó hay không. Hiểu rõ điều này sẽ giúp làm sáng tỏ các mối quan hệ phức tạp trong hình học đại số và cung cấp những công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan.

Phát biểu bài toán

Cho f: X → Y là một toàn ánh xạ xạ ảnh (surjective projective morphism) với các thớ liên thông giữa các đa tạp quasi-projective (bất khả quy). Giả sử rằng mọi thớ của f có cùng số chiều. Gọi D là một ước số nguyên tố trên X sao cho f(D) là một tập con thực sự của Y. Câu hỏi đặt ra là: Liệu f(D) có nhất thiết phải là một ước số trên Y hay không? Tại sao?

Các yếu tố cần xem xét

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xem xét một số yếu tố quan trọng, bao gồm:

• Tính xạ ảnh (Projectivity): Tính chất này đảm bảo rằng chúng ta đang làm việc trong một không gian hình học được kiểm soát tốt, cho phép sử dụng các công cụ và kỹ thuật từ hình học đại số cổ điển.
• Thớ liên thông (Connected fibers): Điều kiện này đảm bảo rằng cấu trúc của các thớ của phép toàn ánh xạ là "đơn giản" theo một nghĩa nào đó, tránh các trường hợp suy biến phức tạp.
• Ước số nguyên tố (Prime divisor): Đây là một khái niệm cơ bản trong hình học đại số, tương ứng với các siêu mặt (hypersurface) bất khả quy.
• Số chiều tương đương (Equidimensionality): Việc tất cả các thớ có cùng số chiều giúp đơn giản hóa bài toán, vì nó loại bỏ khả năng các thớ có hành vi khác nhau đáng kể.

Phân tích và các trường hợp đặc biệt

Câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào tính chất của f: X → Y. Dưới đây là một số trường hợp và ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đa tạp khả quy (Reducible varieties)

Giả sử X = X₁ ∪ X₂ và Y = Y₁ ∪ Y₂, trong đó X_i và Y_i là các thành phần bất khả quy và đóng. Giả sử thêm rằng Y₁ ∩ Y₂ = {P} là một điểm duy nhất. Nếu f₁ = f|_X1: X₁ → Y₁ là phép thổi (blowing-up) của Y₁ tại P, và f₂ = f|_X2: X₂ → Y₂ là phép thổi của Y₂ tại một đa tạp con số chiều d chứa trong Y₂ và chứa P. Khi đó, nếu D ⊂ Y₁ là một ước số chứa P, thì f^-1(D) sẽ là một ước số trên X₁, nhưng sẽ có số chiều dim Y₂ - d trên X₂. Điều này cho thấy rằng ngay cả khi Y là tương đương chiều, f^-1(D) có thể có các thành phần bất khả quy với số chiều khác nhau.

Ví dụ 2: Phép toàn ánh xạ nhỏ (Small morphism)

Xét một phép toàn ánh xạ nhỏ f: X → Y, ví dụ, co một đường cong duy nhất trên một tam diện. Vì X và Y là xạ ảnh, nên f cũng vậy. Gọi H là một ước số tương đối rất ample không chứa toàn bộ thớ đặc biệt (special fiber). Giả sử f chỉ có một thớ không tầm thường, và gọi D = f(H). Khi đó, f^-1(D) = H ∪ (thớ đặc biệt), vì vậy bạn có thể có các thành phần bất khả quy với số chiều (gần như) tùy ý.

Trường hợp đặc biệt

Một trường hợp mà f^-1(D) chỉ có các thành phần có chiều codimension 1 là khi D là một Q-Cartier divisor.

Kết luận

Từ những phân tích trên, ta thấy rằng việc f(D) có phải là một ước số trên Y hay không phụ thuộc vào nhiều yếu tố, đặc biệt là tính chất của phép toàn ánh xạ f và tính chất của các đa tạp X và Y. Trong trường hợp tổng quát, câu trả lời là không. Tuy nhiên, trong các trường hợp đặc biệt như khi D là Q-Cartier divisor, hoặc khi Y trơn láng, chúng ta có thể có kết quả khẳng định.

Hiểu rõ các điều kiện và ví dụ này giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa ảnh ngược của ước số và phép co rút tương đương chiều trong hình học đại số, từ đó áp dụng vào giải quyết các bài toán phức tạp hơn.