Tại Sao Không Gian Hàm Liên Tục C([0,1]) Không Đầy Đủ Trong Chuẩn L2?

Trong giải tích hàm, một câu hỏi quan trọng là liệu một không gian metric có **đầy đủ** hay không. Tính đầy đủ đảm bảo rằng mọi dãy Cauchy đều hội tụ về một phần tử trong không gian đó. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý do tại sao không gian các hàm liên tục trên đoạn [0,1], ký hiệu là C([0,1]), lại không đầy đủ khi xét với chuẩn L2. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tìm thấy một dãy các hàm liên tục mà "gần nhau" theo nghĩa của chuẩn L2, nhưng lại không hội tụ về một hàm liên tục khác.

Chuẩn L2 và Không Gian C([0,1])

Để hiểu rõ vấn đề, chúng ta cần định nghĩa chuẩn L2 trên không gian C([0,1]). Cho f là một hàm liên tục trên [0,1], chuẩn L2 của f được định nghĩa như sau:

||f||₂ = (∫₀¹ |f(x)|² dx)^1/2

Chuẩn L2 đo "kích thước" của hàm f dựa trên tích phân bình phương của giá trị tuyệt đối của nó. Không gian C([0,1]) bao gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0,1]. Câu hỏi đặt ra là: liệu mọi dãy Cauchy trong C([0,1]) (với chuẩn L2) có hội tụ về một hàm cũng thuộc C([0,1]) hay không?

Xây Dựng Dãy Cauchy Không Hội Tụ Trong C([0,1])

Để chứng minh C([0,1]) không đầy đủ trong chuẩn L2, chúng ta cần tìm một dãy Cauchy các hàm liên tục mà không hội tụ về một hàm liên tục. Dưới đây là một ví dụ kinh điển:

Xét dãy hàm {f_n(x)} được định nghĩa như sau:

• f_n(x) = 1 nếu 0 ≤ x ≤ 1/2
• f_n(x) = 1 - 2n(x - 1/2) nếu 1/2 ≤ x ≤ 1/2 + 1/(2n)
• f_n(x) = 0 nếu 1/2 + 1/(2n) ≤ x ≤ 1

Mỗi hàm f_n(x) là một hàm liên tục trên [0,1]. Dãy này "tiến gần" đến hàm bước nhảy:

• f(x) = 1 nếu 0 ≤ x ≤ 1/2
• f(x) = 0 nếu 1/2 < x ≤ 1

Chứng minh {f_n(x)} là dãy Cauchy trong chuẩn L2

Để chứng minh dãy {f_n(x)} là một dãy Cauchy trong chuẩn L2, chúng ta cần chứng minh rằng với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho với mọi m, n > N, ta có ||f_n - f_m||₂ < ε.

Giả sử m > n. Khi đó, f_n(x) và f_m(x) khác nhau chỉ trên một khoảng nhỏ xung quanh điểm 1/2. Ta có thể ước lượng:

||f_n - f_m||₂² ≤ 4 * |1/(2n) - 1/(2m)|

Khi n, m đủ lớn, biểu thức bên phải có thể nhỏ tùy ý, chứng tỏ {f_n(x)} là một dãy Cauchy trong chuẩn L2.

Chứng minh {f_n(x)} không hội tụ trong C([0,1])

Dãy {f_n(x)} hội tụ điểm đến hàm f(x) (đã định nghĩa ở trên). Tuy nhiên, hàm f(x) không liên tục tại x = 1/2. Vì vậy, dãy {f_n(x)} không hội tụ về một hàm liên tục trong C([0,1]).

Điều này chứng minh rằng không gian C([0,1]) không đầy đủ với chuẩn L2.

Ý Nghĩa và Hệ Quả

Việc C([0,1]) không đầy đủ trong chuẩn L2 có ý nghĩa quan trọng trong giải tích hàm và các ứng dụng của nó. Điều này có nghĩa là khi làm việc với các bài toán yêu cầu tính đầy đủ (ví dụ: chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình), chúng ta không thể chỉ giới hạn trong không gian các hàm liên tục. Thay vào đó, chúng ta cần mở rộng không gian làm việc của mình sang một không gian đầy đủ hơn, ví dụ như không gian L2([0,1]).

Không gian L2([0,1]) bao gồm các hàm mà bình phương của chúng có tích phân Lebesgue hữu hạn. Không gian này đầy đủ, và nó chứa C([0,1]) như một không gian con trù mật. Điều này có nghĩa là mọi hàm trong L2([0,1]) có thể được xấp xỉ bởi một dãy các hàm liên tục.

Kết luận

Bài viết đã trình bày lý do tại sao không gian các hàm liên tục C([0,1]) không đầy đủ khi xét với chuẩn L2. Ví dụ về dãy Cauchy không hội tụ trong C([0,1]) đã minh họa rõ ràng cho tính chất này. Hiểu rõ sự khác biệt giữa các không gian hàm và tính đầy đủ của chúng là rất quan trọng để giải quyết các bài toán trong giải tích hàm và các lĩnh vực liên quan.