Trong hình học đại số, một kết quả quen thuộc khẳng định rằng nếu X là một đường cong xạ ảnh, thì mọi ánh xạ сюjektive từ X đến một đường cong Y đều là hữu hạn. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta loại bỏ giả thuyết về tính xạ ảnh của X? Bài viết này sẽ trình bày một phản ví dụ minh họa rằng tính xạ ảnh là một điều kiện then chốt để đảm bảo tính hữu hạn của ánh xạ, đồng thời khám phá sâu hơn về các khái niệm liên quan như lược đồ affine và hình học Riemann.
Cho X và Y là hai đường cong bất khả quy phức, với X không kỳ dị. Giả sử có một ánh xạ сюjektive f: X → Y. Câu hỏi đặt ra là: nếu X là xạ ảnh, thì f có phải là một ánh xạ hữu hạn không? Nếu chúng ta loại bỏ giả thuyết về tính xạ ảnh của X (nhưng vẫn giữ nó không kỳ dị), thì kết luận này còn đúng không?
Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta sẽ xây dựng một phản ví dụ cụ thể. Xét X = A1 \ {1}, tức là đường thẳng affine bỏ đi điểm 1, và Y = A1, đường thẳng affine tiêu chuẩn. Định nghĩa ánh xạ f: X → Y bởi f(t) = t2.
Trong trường hợp này, X không phải là xạ ảnh (vì nó là một tập mở affine của A1 nhưng không phải là chính A1), và f là một ánh xạ сюjektive. Tuy nhiên, f không phải là một ánh xạ hữu hạn. Điều này cho thấy rằng giả thuyết về tính xạ ảnh của X là rất quan trọng để đảm bảo tính hữu hạn của ánh xạ.
Để hiểu rõ hơn tại sao f không hữu hạn, chúng ta cần xem xét định nghĩa của ánh xạ hữu hạn trong bối cảnh hình học đại số. Một cách chính xác, một ánh xạ f: X → Y giữa các lược đồ affine là hữu hạn nếu đại số OX(X) là một OY(Y)-module hữu hạn sinh.
Trong ví dụ của chúng ta, OY(Y) = k[t], và OX(X) = k[t, (t-1)-1]. Để f là hữu hạn, k[t, (t-1)-1] cần phải là một k[t]-module hữu hạn sinh. Tuy nhiên, điều này không đúng, vì (t-1)-1 không thỏa mãn bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số trong k[t].
Phản ví dụ này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về vai trò của tính xạ ảnh trong hình học đại số. Nó cho thấy rằng tính xạ ảnh không chỉ là một điều kiện kỹ thuật, mà còn là một yếu tố then chốt để đảm bảo các tính chất quan trọng của ánh xạ, chẳng hạn như tính hữu hạn.
Ngoài ra, phản ví dụ này cũng gợi ý rằng khi làm việc với các đường cong không xạ ảnh, chúng ta cần cẩn thận hơn trong việc áp dụng các kết quả quen thuộc từ hình học xạ ảnh. Cần phải xem xét các điều kiện bổ sung để đảm bảo rằng các kết quả này vẫn còn đúng.
Phản ví dụ về ánh xạ f: X → Y, với X = A1 \ {1} và Y = A1, đã chứng minh rằng tính xạ ảnh của X là một điều kiện cần thiết để đảm bảo tính hữu hạn của ánh xạ. Việc loại bỏ giả thuyết này có thể dẫn đến các ánh xạ không hữu hạn, làm thay đổi tính chất của các đối tượng hình học. Việc nghiên cứu sâu hơn về các ánh xạ và đường cong trong hình học đại số, đặc biệt là trong bối cảnh các lược đồ affine và các không gian Riemann, sẽ tiếp tục mang lại những hiểu biết sâu sắc và phong phú hơn về lĩnh vực này.
Bài viết liên quan