Bài viết này khám phá sâu về khái niệm **nhóm Galois**, một công cụ mạnh mẽ trong lý thuyết Galois, đại số trừu tượng và lý thuyết số. Chúng ta sẽ bắt đầu với định nghĩa cơ bản, sau đó đi sâu vào cấu trúc và các ứng dụng quan trọng của nó. Mục tiêu là trình bày thông tin một cách rõ ràng và dễ tiếp cận, giúp bạn nắm bắt được bản chất của nhóm Galois và vai trò của nó trong việc giải quyết các bài toán đại số phức tạp. Bạn sẽ hiểu rõ lý do tại sao nhóm Galois lại là một khái niệm then chốt trong toán học hiện đại.
Trong lý thuyết Galois, **nhóm Galois** của một mở rộng trường nhất định là một nhóm cụ thể liên kết với mở rộng trường đó. Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét một mở rộng trường E/F (đọc là "E trên F"). Một tự đẳng cấu của E/F được định nghĩa là một tự đẳng cấu của E mà cố định F theo từng điểm. Nói cách khác, một tự đẳng cấu của E/F là một đẳng cấu α: E → E sao cho α(x) = x với mọi x ∈ F. Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của E/F tạo thành một nhóm với phép toán là phép hợp thành hàm. Nhóm này đôi khi được ký hiệu là Aut(E/F).
Nếu E/F là một **mở rộng Galois**, thì Aut(E/F) được gọi là nhóm Galois của E/F, và thường được ký hiệu là Gal(E/F). Trong trường hợp E/F không phải là một mở rộng Galois, nhóm Galois của E/F đôi khi được định nghĩa là Aut(K/F), trong đó K là bao đóng Galois của E.
Một trong những định lý cấu trúc quan trọng nhất từ lý thuyết Galois là **định lý cơ bản của lý thuyết Galois**. Định lý này phát biểu rằng, với một mở rộng Galois hữu hạn K/k, có một song ánh giữa tập hợp các trường con k ⊂ E ⊂ K và các nhóm con H ⊂ G.
Cụ thể, E được cho bởi tập hợp các bất biến của K dưới tác động của H, tức là E = KH = {a ∈ K: ga = a với g ∈ H}. Hơn nữa, nếu H là một **nhóm con chuẩn tắc**, thì G/H ≅ Gal(E/k). Ngược lại, nếu E/k là một mở rộng trường chuẩn tắc, thì nhóm con liên kết trong Gal(K/k) là một nhóm chuẩn tắc.
Giả sử K1, K2 là các mở rộng Galois của k với các nhóm Galois tương ứng là G1, G2. Trường K1K2 với nhóm Galois G = Gal(K1K2/k) có một phép nhúng G → G1 × G2, là một đẳng cấu khi và chỉ khi K1 ∩ K2 = k.
Như một hệ quả, điều này có thể được suy rộng cho một số hữu hạn lần. Cho các mở rộng Galois K1, …, Kn/k trong đó Ki+1 ∩ (K1···Ki) = k, thì có một đẳng cấu của các nhóm Galois tương ứng: Gal(K1···Kn/k) ≅ Gal(K1/k) × ··· × Gal(Kn/k).
Dưới đây là một vài ví dụ minh họa về cách xác định nhóm Galois trong các tình huống khác nhau:
**Lý thuyết Galois** có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, bao gồm:
**Nhóm Galois** là một công cụ mạnh mẽ và trừu tượng trong toán học, cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các mở rộng trường và giải quyết các bài toán đại số phức tạp. Việc nắm vững lý thuyết Galois mở ra cánh cửa đến nhiều lĩnh vực toán học cao cấp và ứng dụng thực tế.
Bài viết liên quan