Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết trường, khái niệm mở rộng trường (field extension) đóng vai trò then chốt. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về mở rộng trường, từ định nghĩa cơ bản, các tính chất quan trọng, đến những ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Hiểu rõ về mở rộng trường giúp bạn nắm vững nền tảng để tiếp cận các khái niệm nâng cao hơn như lý thuyết Galois và lý thuyết số đại số.
Mở rộng trường, ký hiệu là E/F, là một cặp trường E và F, trong đó F là một trường con của E. Nói cách khác, E chứa F, và các phép toán của F là các phép toán của E được giới hạn trên F. Trường E được gọi là trường mở rộng của F, và F được gọi là trường cơ sở của E.
Ví dụ, tập hợp số phức (C) là một mở rộng trường của tập hợp số thực (R), vì mọi số thực cũng là một số phức. Tương tự, tập hợp số thực (R) là một mở rộng trường của tập hợp số hữu tỉ (Q).
Cho một mở rộng trường E/F, ta có thể xem E như một không gian vector trên F. Bậc của mở rộng trường, ký hiệu là [E:F], là số chiều của không gian vector E trên F. Bậc của mở rộng trường có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu bậc hữu hạn, ta gọi đó là mở rộng hữu hạn, ngược lại là mở rộng vô hạn.
Ví dụ, [C:R] = 2, vì tập hợp {1, i} là một cơ sở của C trên R. Điều này có nghĩa là mọi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng a + bi, với a và b là các số thực. [Q(√2):Q] = 2, vì tập hợp {1, √2} là một cơ sở của Q(√2) trên Q.
Một tính chất quan trọng của bậc của mở rộng trường là công thức nhân bậc. Cho ba trường K, L, và M, sao cho K ⊆ L ⊆ M, ta có:
[M:K] = [M:L] * [L:K]
Công thức này cho phép ta tính bậc của một mở rộng trường lớn thông qua bậc của các mở rộng trường trung gian. Ví dụ, nếu [M:K] là một số nguyên tố p, thì không có trường trung gian L nào khác ngoài K và M.
Một phần tử α thuộc E được gọi là đại số trên F nếu α là nghiệm của một đa thức khác không với hệ số thuộc F. Một mở rộng trường E/F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của E đều là đại số trên F.
Ví dụ, √2 là đại số trên Q, vì nó là nghiệm của đa thức x² - 2 = 0. Mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số, nhưng điều ngược lại không đúng.
Mở rộng trường là một khái niệm cơ bản và mạnh mẽ trong toán học, với nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ví dụ về mở rộng trường là điều cần thiết để tiếp cận các chủ đề toán học nâng cao hơn. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và hữu ích về mở rộng trường.
Bài viết liên quan