Trong toán học, đặc biệt là trong tô pô đại số, hình học vi phân và hình học đại số, các lớp Chern là các lớp đặc trưng gắn liền với các bó vector phức. Chúng đã trở thành những khái niệm nền tảng trong nhiều lĩnh vực của toán học và vật lý, chẳng hạn như lý thuyết dây, lý thuyết Chern-Simons, lý thuyết nút và bất biến Gromov-Witten. Bài viết này sẽ khám phá sâu hơn về ý nghĩa, cách xây dựng và các ứng dụng của lớp Chern trong các lĩnh vực này.
Các lớp Chern là các lớp đặc trưng, là các bất biến tô pô gắn liền với các bó vector trên một đa tạp trơn. Câu hỏi liệu hai bó vector có vẻ khác nhau có thực sự giống nhau hay không có thể rất khó trả lời. Các lớp Chern cung cấp một thử nghiệm đơn giản: nếu các lớp Chern của một cặp bó vector không khớp, thì các bó vector đó khác nhau. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.
Trong tô pô, hình học vi phân và hình học đại số, việc đếm số lượng các phần độc lập tuyến tính mà một bó vector có là rất quan trọng. Các lớp Chern cung cấp một số thông tin về điều này thông qua, ví dụ, định lý Riemann-Roch và định lý chỉ số Atiyah-Singer.
Các lớp Chern cũng có thể tính toán được trong thực tế. Trong hình học vi phân (và một số loại hình học đại số), các lớp Chern có thể được biểu diễn dưới dạng các đa thức trong các hệ số của dạng độ cong.
Có nhiều cách tiếp cận chủ đề này, mỗi cách tập trung vào một khía cạnh hơi khác của lớp Chern. Cách tiếp cận ban đầu là thông qua tô pô đại số: các lớp Chern phát sinh thông qua lý thuyết đồng luân, cung cấp một ánh xạ liên kết với một bó vector tới một không gian phân loại (một Grassmann vô hạn trong trường hợp này).
Phương pháp của Chern sử dụng hình học vi phân, thông qua phương pháp độ cong được mô tả chủ yếu trong bài viết gốc. Ông đã chứng minh rằng định nghĩa trước đó thực sự tương đương với định nghĩa của ông. Lý thuyết kết quả được gọi là lý thuyết Chern-Weil.
Ngoài ra còn có một phương pháp của Alexander Grothendieck chứng minh rằng về mặt tiên đề, người ta chỉ cần định nghĩa trường hợp bó đường thẳng. Các lớp Chern phát sinh một cách tự nhiên trong hình học đại số.
Một trường hợp đặc biệt quan trọng xảy ra khi V là một bó đường thẳng. Khi đó, lớp Chern duy nhất không tầm thường là lớp Chern thứ nhất, là một phần tử của nhóm đối đồng điều thứ hai của X. Vì nó là lớp Chern trên cùng, nó bằng với lớp Euler của bó.
Lớp Chern thứ nhất hóa ra là một bất biến đầy đủ để phân loại các bó đường thẳng phức về mặt tô pô. Tức là, có một song ánh giữa các lớp đẳng cấu của bó đường thẳng trên X và các phần tử của H2(X; Z), ánh xạ một bó đường thẳng với lớp Chern thứ nhất của nó. Hơn nữa, song ánh này là một đồng cấu nhóm (do đó là một đẳng cấu).
Lý thuyết về các lớp Chern làm phát sinh các bất biến cobordism cho các đa tạp gần phức. Nếu M là một đa tạp gần phức, thì bó tiếp tuyến của nó là một bó vector phức. Các lớp Chern của M do đó được định nghĩa là các lớp Chern của bó tiếp tuyến của nó.
Nếu M cũng là compact và có chiều 2d, thì mỗi đơn thức có tổng bậc 2d trong các lớp Chern có thể được ghép cặp với lớp cơ bản của M, cho một số nguyên, một số Chern của M. Nếu M′ là một đa tạp gần phức khác có cùng chiều, thì nó cobordant với M nếu và chỉ nếu các số Chern của M′ trùng với các số Chern của M.
Bài viết liên quan