Bài viết này sẽ đi sâu vào một câu hỏi quan trọng trong lĩnh vực tô pô: Khi nào thì tập hợp các hàm liên tục C(X, Y) và tập hợp các hàm liên tục trên mọi tập compact K(X, Y) trùng nhau? Chúng ta sẽ khám phá các điều kiện cần thiết, đặc biệt là vai trò của tính compact địa phương, và cung cấp một chứng minh chi tiết để làm rõ vấn đề này. Nếu bạn đang học tập hoặc nghiên cứu về tô pô và giải tích hàm, bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng vững chắc.
Để bắt đầu, hãy cùng nhau nhắc lại các định nghĩa quan trọng. Cho X và Y là hai không gian tô pô. Khi đó:
Rõ ràng, nếu một hàm liên tục trên toàn bộ không gian X, thì nó cũng liên tục trên mọi tập compact con của X. Điều này dẫn đến kết luận C(X, Y) ⊂ K(X, Y). Câu hỏi đặt ra là, khi nào thì chiều ngược lại cũng đúng, tức là K(X, Y) ⊂ C(X, Y)?
Tính compact địa phương đóng vai trò then chốt trong việc trả lời câu hỏi trên. Một không gian tô pô X được gọi là compact địa phương nếu mọi điểm x ∈ X đều có một lân cận V sao cho bao đóng V̄ là compact. Ví dụ, tập hợp số thực R với tô pô thông thường là một không gian compact địa phương.
Bây giờ, giả sử X là một không gian compact địa phương. Ta sẽ chứng minh rằng nếu một hàm f: X → Y liên tục trên mọi tập compact con của X (tức là f ∈ K(X, Y)), thì f cũng liên tục trên toàn bộ X (tức là f ∈ C(X, Y)).
Chọn một điểm x ∈ X bất kỳ và một lân cận N của f(x) trong Y. Chúng ta cần tìm một lân cận U của x trong X sao cho f(U) ⊂ N. Do X là compact địa phương, tồn tại một lân cận V của x sao cho bao đóng K = V̄ là compact. Vì f ∈ K(X, Y), hàm f|K (sự thu hẹp của f trên K) liên tục.
Vì f|K liên tục tại x, tồn tại một lân cận UK của x trong K sao cho f(UK) ⊆ N. Theo định nghĩa của tô pô không gian con, UK = K ∩ U' với U' là một tập mở trong X. Ngoài ra, vì V là một lân cận của x, tồn tại một tập mở O trong X chứa x sao cho O ⊂ V.
Đặt U = O ∩ U'. Tập U này là mở trong X (vì là giao của hai tập mở) và chứa x (vì x thuộc O và UK chứa trong U'). Ta cần chứng minh rằng f(U) ⊂ N. Nếu y ∈ U, thì y ∈ O và y ∈ U'. Do y ∈ O ⊆ V ⊆ V̄ = K, suy ra y ∈ K. Vậy y ∈ K ∩ U' = UK. Vì f(UK) ⊆ N, ta có f(y) ∈ N. Do đó, f(U) ⊆ N.
Vậy, chúng ta đã tìm được một lân cận U của x trong X sao cho f(U) ⊂ N. Điều này chứng tỏ f liên tục tại x. Vì x là một điểm bất kỳ trong X, f liên tục trên toàn bộ X. Do đó, f ∈ C(X, Y).
Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận rằng nếu X là một không gian compact địa phương, thì C(X, Y) = K(X, Y). Tính compact địa phương đảm bảo rằng sự liên tục trên các tập compact con là đủ để suy ra sự liên tục trên toàn bộ không gian.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn rõ ràng hơn về mối quan hệ giữa C(X, Y) và K(X, Y), cũng như vai trò quan trọng của tính compact địa phương trong tô pô.
Bài viết liên quan