Bài viết này khám phá một định lý quan trọng trong lý thuyết số: sự tuần hoàn và đối xứng trong khai triển liên phân số của căn bậc hai của một số nguyên không phải là số chính phương. Chúng ta sẽ đi sâu vào định lý này, giải thích các khái niệm quan trọng và cung cấp các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ hơn. Nếu bạn đang tìm hiểu về khai triển liên phân số và các tính chất thú vị của nó, đây là một bài viết hữu ích dành cho bạn.
Định lý phát biểu rằng, nếu n là một số nguyên không phải là số chính phương, thì khai triển liên phân số của √n có dạng:
[a1; (b1, b2, ..., bm-1, bm, bm-1, ..., b2, b1, 2a1)]
hoặc
[a1; (b1, b2, ..., bm-1, bm, bm, bm-1, ..., b2, b1, 2a1)]
Trong đó:
Một số vô tỷ bậc hai được gọi là rút gọn nếu nó lớn hơn 1 và liên hợp của nó nhỏ hơn 0. Điều này có nghĩa là phần nguyên của số vô tỷ này phải nhỏ hơn chính nó.
Hai số vô tỷ bậc hai được gọi là liên kết nếu chúng có cùng discriminant (biệt số). Nói cách khác, chúng là nghiệm của cùng một phương trình bậc hai với hệ số nguyên.
Dưới đây là một số ví dụ về khai triển liên phân số của căn bậc hai của các số nguyên:
Bạn có thể thấy rõ tính tuần hoàn và tính đối xứng trong các khai triển này. Số cuối cùng trong chu kỳ luôn gấp đôi số đầu tiên bên ngoài chu kỳ.
Định lý này rất quan trọng trong lý thuyết số vì nó cung cấp một cách để hiểu cấu trúc của số vô tỷ bậc hai. Nó cũng có ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, chẳng hạn như mật mã học và phân tích số. Việc hiểu rõ cấu trúc liên phân số giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về tính chất của các số này.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khai triển liên phân số của căn bậc hai và tính chất tuần hoàn và đối xứng của nó.
Bài viết liên quan