Lý thuyết **homotopy** là một công cụ mạnh mẽ trong **tô pô** đại số, cho phép chúng ta phân loại các không gian dựa trên tính liên tục của các phép biến đổi. Bài viết này đi sâu vào một câu hỏi thú vị: điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta mở rộng định nghĩa về **homotopy** để cho phép bất kỳ không gian liên thông nào, thay vì chỉ sử dụng khoảng đơn vị [0, 1]? Chúng ta sẽ khám phá khái niệm **C-homotopy**, phân tích sự khác biệt so với **homotopy** thông thường và xem xét những thay đổi trong các khái niệm liên quan như **homotopy groups**, **homotopy equivalence**, và tính co rút. Hãy cùng tìm hiểu xem sự thay đổi này có ý nghĩa gì và nó mở ra những hướng nghiên cứu mới nào trong **tô pô**.
Để bắt đầu, chúng ta cần định nghĩa rõ ràng về **C-homotopy**. Cho hai hàm liên tục f, g: X → Y, chúng ta nói rằng f và g là C-homotopic nếu tồn tại một không gian liên thông Z và các điểm z0, z1 ∈ Z sao cho tồn tại một hàm liên tục h: Z × X → Y thỏa mãn h(z0, x) = f(x) và h(z1, x) = g(x). Nói một cách đơn giản, **C-homotopy** cho phép chúng ta "biến đổi" một hàm thành một hàm khác thông qua một không gian liên thông trung gian Z.
Điều quan trọng là phải xem xét các tính chất của **C-homotopy**. Nó có phải là một quan hệ tương đương không? Nó có tôn trọng phép hợp thành hàm không? Câu trả lời là có. **C-homotopy** thực sự là một quan hệ tương đương và nó cũng tương thích với phép hợp thành, điều này cho phép chúng ta xây dựng các khái niệm như C-nulhomotopy, C-homotopy equivalence, và C-contractibility.
Một trong những hệ quả thú vị của việc giới thiệu **C-homotopy** là khả năng định nghĩa các nhóm **C-homotopy**. Về cơ bản, nhóm **C-homotopy** sẽ là thương của nhóm **homotopy** thông thường. Điều này có nghĩa là nó sẽ xác định các "vòng lặp" mà nhóm **homotopy** thông thường không thể phát hiện được. Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu ý là chúng ta không thay đổi định nghĩa về một "vòng lặp", mà chỉ thay đổi cách chúng ta coi các vòng lặp là homotopic.
Ngoài ra, chúng ta có thể xem xét **C-homotopy** tương đối, trong đó **homotopy** h giữ cố định một tập con A ⊆ X. Điều này tương tự như **homotopy** tương đối thông thường và cần thiết để định nghĩa nhóm **C-homotopy** một cách chính xác.
Câu hỏi then chốt ở đây là: **C-homotopy** thay đổi điều gì? Liệu có thể chứng minh rằng, đối với các không gian/hàm đủ "tốt", **C-homotopy** tương đương với **homotopy** thông thường không? Hoặc có những ví dụ cụ thể, không quá tầm thường, về sự khác biệt giữa hai khái niệm này?
Một ví dụ đơn giản về sự khác biệt là khi chúng ta có hai điểm trong các thành phần đường đi khác nhau của một không gian liên thông. Xét như các ánh xạ từ không gian một điểm, chúng là C-homotopic nhưng không homotopic thông thường. Một ví dụ khác, ít tầm thường hơn, là các continuum tuyến tính.
Ví dụ, đối với bất kỳ continuum tuyến tính bị chặn X, hàm min: X × X → X là một C-co rút của X. Lý luận này có thể được điều chỉnh để hoạt động khi X chỉ có một điểm cuối. Thậm chí, nếu X không có điểm cuối nào, ta có thể áp dụng lý luận này hai lần để chứng minh X là C-co rút, mặc dù nó có thể không co rút theo nghĩa thông thường. Tuy nhiên, liệu có những ví dụ nào không dựa trên continuum tuyến tính không? Liệu đường cong sine của nhà **tô pô** học, chẳng hạn, có thể là C-co rút không?
Ngoài **C-homotopy**, chúng ta cũng có thể xem xét một khái niệm trung gian giữa **homotopy** thông thường và **C-homotopy**, được gọi là **L-homotopy**. Trong **L-homotopy**, thay vì sử dụng một không gian liên thông bất kỳ và hai điểm trong đó, chúng ta sử dụng một continuum tuyến tính bị chặn và hai điểm cuối của nó. Ví dụ trên không phân biệt được **C-homotopy** và **L-homotopy**, nhưng ví dụ tầm thường (hai điểm trong đường cong sine của nhà **tô pô** học) thì có.
Nếu chúng ta quan tâm đến các khái niệm L hơn là C, thì L-liên thông, các thành phần L và L-liên thông cục bộ có thể được thêm vào danh sách các yếu tố cần so sánh. Điều này dẫn đến những câu hỏi thú vị về cấu trúc và tính chất của các không gian với các loại liên thông khác nhau.
Việc mở rộng định nghĩa về **homotopy** để cho phép các không gian liên thông tổng quát hơn (thông qua **C-homotopy** và **L-homotopy**) mở ra một loạt các câu hỏi và hướng nghiên cứu mới trong **tô pô** đại số. Mặc dù có những trường hợp **C-homotopy** và **L-homotopy** tương đương với **homotopy** thông thường, nhưng cũng có những ví dụ quan trọng về sự khác biệt, đặc biệt là liên quan đến các không gian không đường liên thông.
Việc nghiên cứu các nhóm **C-homotopy**, **L-homotopy**, và các khái niệm liên quan có thể dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc **tô pô** của các không gian và có thể có ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học và khoa học. Ví dụ, **homotopy** đã được sử dụng trong robot học, khoa học vật liệu và khoa học dữ liệu. Việc khám phá các biến thể mở rộng của **homotopy** có thể mở ra những ứng dụng mới và thú vị trong tương lai.
Bài viết liên quan