Giải Phương Trình Diophantine: max(m⁴, n⁴) - 56m²n² = 2025 - Hướng Dẫn Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với phương trình Diophantine max(m⁴, n⁴) - 56m²n² = 2025? Đừng lo lắng! Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một hướng dẫn chi tiết từng bước, giúp bạn hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết bài toán này. Chúng ta sẽ khám phá các kỹ thuật khác nhau, từ phân tích trường hợp đến sử dụng tính chất chia hết, để tìm ra tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) thỏa mãn phương trình. Hãy cùng bắt đầu hành trình chinh phục thử thách này!

Hiểu Rõ Về Phương Trình Diophantine

Phương trình Diophantine là một loại phương trình đại số mà nghiệm của nó phải là các số nguyên. Việc giải các phương trình này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức đại số, lý thuyết số và đôi khi là cả tư duy sáng tạo. Bài toán của chúng ta, max(m⁴, n⁴) - 56m²n² = 2025, thuộc loại này và đòi hỏi một cách tiếp cận cẩn thận.

Phân Tích Bài Toán và Thiết Lập Các Trường Hợp

Để giải quyết phương trình này, chúng ta sẽ chia bài toán thành hai trường hợp dựa trên hàm max(m⁴, n⁴):

• Trường hợp 1: m⁴ ≥ n⁴, khi đó phương trình trở thành m⁴ - 56m²n² = 2025.
• Trường hợp 2: n⁴ ≥ m⁴, khi đó phương trình trở thành n⁴ - 56m²n² = 2025.

Nhận thấy rằng phương trình có tính đối xứng giữa m và n, nên nếu (m, n) là một nghiệm thì (n, m) cũng là một nghiệm. Do đó, chúng ta có thể tập trung giải quyết một trường hợp và sau đó suy ra nghiệm cho trường hợp còn lại.

Giải Quyết Trường Hợp 1: m⁴ - 56m²n² = 2025

Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau: m²(m² - 56n²) = 2025. Vì m và n là các số nguyên dương, m² phải là một ước của 2025. Chúng ta sẽ tìm tất cả các ước của 2025 và kiểm tra xem có ước nào thỏa mãn phương trình hay không.

Phân tích 2025 thành thừa số nguyên tố: 2025 = 3⁴ * 5². Do đó, các ước của 2025 là các số có dạng 3^a * 5^b, với 0 ≤ a ≤ 4 và 0 ≤ b ≤ 2. Chúng ta cần tìm các ước là số chính phương.

• Các ước số chính phương của 2025 là: 1, 9, 25, 81, 225, 625, 2025.

Chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các giá trị này của m²:

1. Nếu m² = 1, thì m² - 56n² = 2025, suy ra 1 - 56n² = 2025, => n² = -2024/56. (Loại)
2. Nếu m² = 9, thì m² - 56n² = 225, suy ra 9 - 56n² = 225, => n² = -216/56. (Loại)
3. Nếu m² = 25, thì m² - 56n² = 81, suy ra 25 - 56n² = 81, => n² = -56/56. (Loại)
4. Nếu m² = 81, thì m² - 56n² = 25, suy ra 81 - 56n² = 25, => n² = 56/56 = 1, => n = 1.
5. Nếu m² = 225, thì m² - 56n² = 9, suy ra 225 - 56n² = 9, => n² = 216/56. (Loại)
6. Nếu m² = 625, thì m² - 56n² = 3.24, (Loại)
7. Nếu m² = 2025, thì m² - 56n² = 1, suy ra 2025 - 56n² = 1, => n² = 2024/56. (Loại)

Vậy, chúng ta tìm được một nghiệm: m = 9, n = 1.

Suy Ra Nghiệm Cho Trường Hợp 2

Vì phương trình đối xứng, nghiệm cho trường hợp 2 (n⁴ - 56m²n² = 2025) là m = 1, n = 9.

Kết Luận

Vậy, phương trình max(m⁴, n⁴) - 56m²n² = 2025 có hai nghiệm là (9, 1) và (1, 9). Hy vọng hướng dẫn này đã giúp bạn hiểu rõ cách giải quyết bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài toán tương tự để nâng cao kỹ năng giải phương trình Diophantine của bạn!