Bạn có bao giờ tự hỏi liệu có những khái niệm toán học trừu tượng nào lại ẩn chứa trong những điều quen thuộc của cuộc sống? Bài viết này sẽ đưa bạn vào một hành trình khám phá thuyết đồng đẳng (homology), một lĩnh vực của toán học, và cách nó được thể hiện qua những ví dụ sinh động từ các trò chơi, câu đố, hiện tượng tự nhiên, và thậm chí cả kinh tế. Hãy cùng tìm hiểu để thấy rằng toán học không hề khô khan mà vô cùng gần gũi và hữu ích.
Thuyết đồng đẳng, một nhánh của **topology đại số**, thoạt nghe có vẻ phức tạp, nhưng thực chất là một công cụ mạnh mẽ để phân tích cấu trúc của các đối tượng. Thay vì chỉ nhìn vào hình dạng bên ngoài, homology giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các tính chất liên kết, các "lỗ", và cách các phần của đối tượng kết nối với nhau. Điều này có ứng dụng lớn trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học vật liệu đến phân tích dữ liệu.
Bài viết này sẽ không đi sâu vào các định nghĩa và chứng minh toán học phức tạp. Thay vào đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc khám phá những ví dụ trực quan để bạn có thể nắm bắt được ý tưởng cốt lõi của homology một cách dễ dàng và thú vị. Mục tiêu là giúp bạn nhận ra rằng kiến thức về homology có thể mang lại một góc nhìn mới mẻ và sâu sắc về thế giới xung quanh.
Trước khi cố gắng giải một câu đố quán rượu (tavern puzzle), hãy kiểm tra xem hai mảnh có liên kết topology với nhau hay không. Bạn có thể ước tính điều này bằng cách tính số liên kết (linking number), thông qua bậc của ánh xạ từ hình xuyến (torus) đến mặt cầu hai chiều. Nếu hai mảnh bị "mắc kẹt" theo nghĩa topology, việc gỡ chúng ra sẽ trở nên khó khăn hơn nhiều.
Nếu bạn vừa cắt tóc rất ngắn, sẽ có một chỗ trên da đầu (thường gần đỉnh đầu) mà tóc dựng đứng lên. Điều này có thể được "giải thích" bằng định lý quả bóng lông (hairy ball theorem): một trường vector tiếp tuyến trên mặt cầu hai chiều phải biến mất ở đâu đó. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tóc của bạn là một trường vector trên một hình tròn, không phải trên một mặt cầu, vì vậy đây chỉ là một sự tương tự thú vị. Định lý này minh họa cho việc luôn tồn tại một điểm mà trường vector (trong trường hợp này là hướng tóc) không thể "chải" một cách liên tục.
Khi bạn nhào bột, và sau đó đẩy nó trở lại hình dạng ban đầu, luôn có một chút bột đã trở về vị trí ban đầu của nó. Đây là định lý điểm bất động Brouwer (Brouwer fixed-point theorem). Ví dụ này hơi khó hình dung, vì không thể nhìn thấy phần bột cố định đó. Tương tự, khi bạn đi bộ đường dài, bạn có thể thấy rõ rằng có một điểm trên bản đồ nằm trực tiếp phía trên điểm mà nó đại diện. Tuy nhiên, điều này được giải thích tốt hơn bằng nguyên lý ánh xạ co (contraction mapping principle).
Không có kết quả hòa trong trò chơi Hex. Điều này tương đương với định lý điểm bất động Brouwer. Đây không phải là một ví dụ hoàn hảo, vì hầu hết mọi người không biết trò chơi này. Tuy nhiên, nó cho thấy định lý Brouwer có thể được áp dụng để chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của một số tình huống nhất định trong các hệ thống rời rạc.
Hãy xem xét một bản đồ địa lý với một số quốc gia. Giả sử rằng các quốc gia tạo thành một vùng phủ mở (open covering). Mỗi quốc gia có một loại tiền tệ và trên "ranh giới chung" (giao điểm của hai quốc gia mở), tồn tại một tỷ giá hối đoái giữa hai loại tiền tệ. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể thiết lập một loại tiền tệ chung, sao cho tiền tệ của mỗi quốc gia có thể có tỷ giá hối đoái so với loại tiền tệ chung này, sao cho tỷ giá hối đoái hiện có giữa các cặp tiền tệ tương thích với nó hay không? Nếu không có loại tiền tệ toàn cầu, việc di chuyển tiền của bạn xung quanh một chu kỳ theo hướng thích hợp sẽ mang lại cho bạn lợi nhuận ngày càng lớn!
Lấy một sinh vật thường di cư về phía nam, đặt nó trong một môi trường nhân tạo và đặt lại đồng hồ sinh học của nó bằng x giờ (bằng cách thay đổi dần số giờ ánh sáng ban ngày). Thả nó vào tự nhiên và thay vì di cư về phía nam, nó sẽ di cư theo một hướng mới y. Coi x và y là các phần tử của S1 và y là một hàm của x, điều này cho ta một ánh xạ S1 → S1. Rõ ràng số vòng của ánh xạ này là đặc trưng của loài (ví dụ: 0 đối với bọ gậy ao, 1 đối với cá mặt trời).
Các quần thể nấm men có một chu kỳ sống lặp lại theo một khoảng thời gian đều đặn. Chúng ta có thể liên kết với mỗi quần thể nấm men một pha θ ∈ S1. Nếu các quần thể nấm men được kết hợp, theo thời gian, chúng sẽ ổn định ở cùng một pha. Xét hàm f: S1 × S1 → S1 nhận đầu vào là pha của hai quần thể nấm men và đầu ra là pha của quần thể nấm men thu được bằng cách ghép chúng lại với nhau và để chúng đạt đến một pha mới.
Các định luật Kirchhoff về điện kỹ thuật có thể được diễn đạt lại bằng các thuật ngữ homological. Chi tiết hơn, một mạch điện (phân nhánh) được biểu diễn bằng một đồ thị, hoặc một 1-complex đơn hình Γ, sao cho có một dòng điện không đổi Ii chạy qua mỗi cạnh. Sau khi định hướng các cạnh một cách tùy ý, dòng điện có thể được gán các giá trị số (dương hoặc âm, tùy thuộc vào việc hướng của dòng điện có trùng với hướng đã chọn hay không) và tập hợp đầy đủ các dòng điện trong mạch được chỉ định bởi một 1-chuỗi I = {Ii}. Định luật Kirchhoff thứ nhất nói rằng tổng đại số của dòng điện tại mọi nút bằng 0. Điều này chuyển thành điều kiện chuỗi I là một 1-cycle, ∂I = 0.
"Phép cộng có nhớ," một hoạt động rất quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày, có thể được giải thích bằng các thuật ngữ của cohomology nhóm. Hoạt động nhớ, về bản chất, là một 1-cocycle.
Như bạn đã thấy, thuyết đồng đẳng không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng. Nó có thể được tìm thấy trong nhiều khía cạnh của cuộc sống, từ những trò chơi đơn giản đến những hiện tượng tự nhiên phức tạp. Việc hiểu rõ hơn về homology có thể giúp bạn có một cái nhìn sâu sắc hơn về thế giới xung quanh và mở ra những cánh cửa mới cho việc giải quyết vấn đề. Hy vọng bài viết này đã mang đến cho bạn một cái nhìn tổng quan và thú vị về ứng dụng của thuyết đồng đẳng trong đời sống hàng ngày.
Bài viết liên quan