Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một khái niệm then chốt. Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa chính thức, giải thích ý nghĩa sâu sắc và đưa ra các ví dụ minh họa cụ thể. Chúng ta cũng sẽ cùng nhau giải các bài tập để củng cố kiến thức về chủ đề này. Hãy cùng khám phá!
Chúng ta bắt đầu với định nghĩa chính thức về sự phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa: Cho V là một không gian tuyến tính. Các vectơ v₁, v₂, ..., vn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn tại các vô hướng a₁, a₂, ..., an sao cho:
a₁v₁ + a₂v₂ + ... + anvn = 0
và ít nhất một trong các vô hướng a₁, a₂, ..., an khác không.
Yêu cầu "ít nhất một vô hướng khác không" là vô cùng quan trọng. Nếu không có yêu cầu này, định nghĩa sẽ trở nên tầm thường: ta luôn có thể chọn a₁ = a₂ = ... = an = 0 và kết quả sẽ là 0 cho bất kỳ tập vectơ nào. Hơn nữa, nếu một trong các hệ số của tổ hợp tuyến tính khác không (giả sử, không mất tính tổng quát, đó là a₁), thì ta có thể viết:
v₁ = (-a₂/a₁)v₂ + (-a₃/a₁)v₃ + ... + (-an/a₁)vn
Điều này có nghĩa là v₁ là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v₂, v₃, ..., vn. Đây chính là ý nghĩa trực quan của sự phụ thuộc tuyến tính: hai hoặc nhiều vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu ít nhất một trong số chúng có thể được viết thành một tổ hợp tuyến tính của những vectơ còn lại.
Giả định a₁ khác không là không mất tính tổng quát vì ta luôn có thể thay đổi thứ tự của các vectơ và gán vị trí đầu tiên cho một vectơ tương ứng với một hệ số khác không (theo giả định, có ít nhất một vectơ như vậy).
Cho v = [1, 2]ᵀ và w = [2, 4]ᵀ là các vectơ cột được định nghĩa như sau:
2v - w = 0
Tổ hợp tuyến tính này cho kết quả là vectơ không vì:
2[1, 2]ᵀ - [2, 4]ᵀ = [0, 0]ᵀ
Do đó, v và w là phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa về sự độc lập tuyến tính được suy ra trực tiếp từ định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa: Cho V là một không gian tuyến tính. Các vectơ v₁, v₂, ..., vn được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính.
Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng, trong trường hợp độc lập tuyến tính,
a₁v₁ + a₂v₂ + ... + anvn = 0
kéo theo
a₁ = a₂ = ... = an = 0
Nói cách khác, khi các vectơ độc lập tuyến tính, tổ hợp tuyến tính duy nhất của chúng cho kết quả là vectơ không là khi tất cả các hệ số đều bằng không.
Cho v = [1, 0]ᵀ và w = [0, 1]ᵀ là các vectơ cột được định nghĩa như sau:
Xét một tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này với các hệ số a và b:
a[1, 0]ᵀ + b[0, 1]ᵀ = [a, b]ᵀ
Điều này bằng với:
[a, b]ᵀ = [0, 0]ᵀ
nếu và chỉ nếu
a = 0 và b = 0
Do đó, hai vectơ này là độc lập tuyến tính.
Dưới đây là một số bài tập với lời giải chi tiết để bạn luyện tập.
Định nghĩa các vectơ sau: u = [1, 1]ᵀ và v = [2, 3]ᵀ. Hỏi u và v có độc lập tuyến tính không?
Lời giải:
Xét một tổ hợp tuyến tính với các hệ số a và b:
a[1, 1]ᵀ + b[2, 3]ᵀ = [0, 0]ᵀ
Tổ hợp tuyến tính này cho kết quả là vectơ không nếu và chỉ nếu các hệ số a và b giải hệ phương trình tuyến tính sau:
a + 2b = 0 a + 3b = 0
Hệ phương trình này có thể được giải như sau: Từ phương trình thứ hai, ta có a = -3b, thay vào phương trình đầu tiên, ta được -3b + 2b = 0, suy ra b = 0. Do đó, a = 0 và b = 0.
Vậy, tổ hợp tuyến tính duy nhất của u và v cho kết quả là vectơ không là khi tất cả các hệ số đều bằng không. Điều này có nghĩa là u và v là độc lập tuyến tính.
Cho u = [1, 2]ᵀ, v = [2, 4]ᵀ và w = [3, 6]ᵀ. Tại sao các vectơ này lại phụ thuộc tuyến tính?
Lời giải:
Nhận thấy rằng vectơ v là một bội số vô hướng của u:
v = 2u
hay
2u - v = 0
Do đó, một tổ hợp tuyến tính của u, v và w, với các hệ số a, b và c,
au + bv + cw = 0
cho kết quả:
au + 2au + cw = (a+2a)u + cw = 0
Như vậy, tồn tại một tổ hợp tuyến tính của ba vectơ sao cho các hệ số của tổ hợp không phải tất cả đều bằng không, nhưng kết quả của tổ hợp lại bằng vectơ không. Điều này có nghĩa là ba vectơ này phụ thuộc tuyến tính.
Cho k là một số thực. Định nghĩa các vectơ sau: u = [1, k]ᵀ và v = [k, 1]ᵀ. Hỏi u và v có độc lập tuyến tính không?
Lời giải:
Xét một tổ hợp tuyến tính với các hệ số a và b:
a[1, k]ᵀ + b[k, 1]ᵀ = [0, 0]ᵀ
Tổ hợp tuyến tính này bằng vectơ không nếu và chỉ nếu các hệ số a và b giải hệ phương trình tuyến tính sau:
a + kb = 0 ka + b = 0
Có hai trường hợp có thể xảy ra:
**Trường hợp 1:** Nếu k ≠ 1 (trường hợp đầu tiên), thì a = 0 và b = 0. Điều này có nghĩa là u và v là độc lập tuyến tính.
**Trường hợp 2:** Nếu k = 1 (trường hợp thứ hai), thì u = v. Điều này có nghĩa là u và v phụ thuộc tuyến tính.
Bài viết liên quan