Bài viết này đi sâu vào khái niệm đạo hàm theo hướng tại một điểm kỳ dị (cusp) trong một miền mở của không gian hai chiều. Chúng ta sẽ khám phá cách định nghĩa đạo hàm này, các tính chất của nó, và liệu nó có định nghĩa một phép vi phân (derivation) trên các hàm trơn (smooth functions) hay không. Mục tiêu là làm rõ những khái niệm toán học phức tạp này một cách dễ hiểu nhất, đồng thời cung cấp cái nhìn sâu sắc về ứng dụng của chúng.
Xét một miền mở *U* trong không gian R2, có biên không trơn tại một điểm *p*, cụ thể là một điểm kỳ dị (cusp) thuộc biên của *U*. Giả sử *f* là một hàm thuộc lớp C∞ trên bao đóng (closure) của *U*, ký hiệu là C∞(Ū). Điều này có nghĩa là tồn tại một miền mở *Ũ* chứa Ū sao cho tất cả các đạo hàm riêng và đạo hàm theo hướng của *f* đều được xác định đến tận biên ∂U của *U*.
Để định nghĩa đạo hàm theo hướng của *f* tại điểm *p* ∈ ∂U, ta lấy một vectơ *v* ∈ R2. Khi đó, đạo hàm theo hướng của *f* tại *p* theo hướng *v* được định nghĩa như sau: ∂vf(p) := limx∈U, x→p ∂vf(x). Nói cách khác, ta tính giới hạn của đạo hàm theo hướng của *f* tại điểm *x* khi *x* tiến đến *p* trong miền *U*. Việc tồn tại giới hạn này là một yếu tố quan trọng.
Câu hỏi đặt ra là liệu định nghĩa trên có chính xác hay không? Và nếu có, liệu toán tử Dv: C∞(Ū) → R, được định nghĩa bởi Dv(f) := ∂vf(p), có định nghĩa một phép vi phân (derivation) trên C∞(Ū) hay không? Để trả lời câu hỏi này, ta cần kiểm tra xem toán tử Dv có tuyến tính hay không và có thỏa mãn quy tắc tích (product rule) cho phép vi phân hay không.
Một phép vi phân là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn quy tắc Leibniz (product rule). Quy tắc Leibniz nói rằng đạo hàm của một tích bằng tổng của các tích, trong đó mỗi thừa số được lấy đạo hàm một lần. Nếu Dv thỏa mãn cả hai điều kiện này, thì nó thực sự là một phép vi phân.
Một câu hỏi khác là: Liệu đạo hàm theo hướng có phụ thuộc vào cách ta mở rộng hàm *f* từ *U* sang *Ũ* hay không? Nói cách khác, nếu *f̃* là một mở rộng của *f* từ *U* sang *Ũ*, thì liệu ∂vf̃(p) có bằng ∂vf(p) hay không? Nếu *f* khả vi liên tục đến biên của *U*, thì câu trả lời là có. Điều này là do giới hạn của đạo hàm theo hướng không phụ thuộc vào cách ta tiếp cận điểm *p*.
Tuy nhiên, nếu ta nới lỏng điều kiện từ *f* ∈ C∞(Ū) xuống chỉ còn khả vi (differentiable) trên Ū (không nhất thiết liên tục), thì câu trả lời cho câu hỏi 2) và 3) là không. Lý do là vì các mở rộng khác nhau của *f* sang *Ũ* sẽ có các đạo hàm theo hướng khác nhau tại *p*.
Câu hỏi này liên quan đến một vấn đề trong lý thuyết kỳ dị, nơi mà việc xác định đạo hàm tại các điểm không trơn trở nên phức tạp. Một ví dụ cụ thể là khi góc tại đỉnh (vertex angle) θ = π. Trong trường hợp này, các giá trị của hàm *s* trên một tập *A* chỉ xác định đạo hàm Ds(p)(v) cho một hướng *v* duy nhất. Ở mọi hướng khác, có một khoảng thời gian ngắn mà các tia không giao với *A*, và do đó hành vi của Ds(p) theo các hướng này không được xác định bởi *s*|A.
Tóm lại, việc nghiên cứu đạo hàm theo hướng tại các điểm kỳ dị (cusp) là một vấn đề thú vị và phức tạp trong toán học. Nó đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về giải tích, tô pô, và hình học vi phân. Các kết quả thu được có thể có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính.
Bài viết liên quan