Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách chứng minh sự hội tụ của dãy số an = √(n² + n) - n, đồng thời tìm ra giới hạn của nó. Chúng ta cũng sẽ xem xét tính đơn điệu của dãy số này. Nếu bạn đang gặp khó khăn với các bài toán về dãy số và giới hạn, đây là tài liệu không thể bỏ qua.
Để chứng minh dãy số an hội tụ, chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại một giới hạn hữu hạn l sao cho với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |an - l| < ε. Nói cách khác, các số hạng của dãy số tiến gần đến l khi n tiến đến vô cùng. Việc xác định giới hạn l này là bước quan trọng đầu tiên trong quá trình chứng minh.
Chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức của an và làm cho việc tìm giới hạn trở nên dễ dàng hơn. Một kỹ thuật phổ biến là nhân và chia cho biểu thức liên hợp. Kỹ thuật này giúp loại bỏ căn bậc hai ở tử số và làm xuất hiện các biểu thức đơn giản hơn.
Để tìm giới hạn l, ta thực hiện các bước sau:
Vậy, giới hạn của dãy số an là 1/2.
Để chứng minh tính đơn điệu của dãy số, ta cần xem xét hiệu an+1 - an. Nếu an+1 - an > 0 với mọi n, dãy số tăng. Nếu an+1 - an < 0 với mọi n, dãy số giảm. Việc xác định dấu của hiệu này sẽ cho ta biết dãy số có tính đơn điệu hay không. Nếu hiệu không đổi dấu, dãy số không đơn điệu.
Ta có:
an+1 = √( (n+1)² + (n+1) ) - (n+1)
an+1 - an = [√( (n+1)² + (n+1) ) - (n+1)] - [√(n² + n) - n]
Chứng minh rằng an+1 - an > 0. Điều này tương đương với việc chứng minh dãy số tăng.
Dãy số (an)n=1∞ là đơn điệu tăng.
Tóm lại, dãy số an = √(n² + n) - n là hội tụ với giới hạn là 1/2, và dãy số này cũng là đơn điệu tăng. Việc chứng minh này sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số và định nghĩa giới hạn một cách chặt chẽ. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này và áp dụng vào các bài toán tương tự.
Bài viết liên quan