Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách chứng minh rằng tập hợp các phần tử tách được trong một mở rộng trường K/F tạo thành một trường con của K. Đây là một kết quả quan trọng trong lý thuyết Galois và đại số trừu tượng. Nếu bạn đang học về các mở rộng trường, tính tách được, và muốn hiểu rõ hơn về cấu trúc đại số, bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một chứng minh chi tiết và dễ hiểu.
Trong đại số trừu tượng, một mở rộng trường là một phép nhúng của một trường F vào một trường lớn hơn K. Chúng ta ký hiệu điều này là K/F. Một phần tử α thuộc K được gọi là tách được trên F nếu đa thức tối tiểu của nó trên F là một đa thức tách được, tức là nó không có nghiệm bội trong bất kỳ mở rộng trường nào của F. Vấn đề đặt ra là: liệu tập hợp tất cả các phần tử tách được trong K có tạo thành một trường con hay không?
Để chứng minh điều này, chúng ta cần chứng minh rằng tập hợp các phần tử tách được thỏa mãn các tiên đề của một trường con. Gọi S là tập hợp các phần tử của K tách được trên F. Chúng ta cần chứng minh:
Vì 0 và 1 thuộc F, và mọi phần tử của F đều tách được trên F (đa thức tối tiểu của chúng là x và x-1, đều là các đa thức tách được), nên 0 và 1 thuộc S.
Đây là bước quan trọng nhất. Giả sử a và b thuộc S. Điều này có nghĩa là a và b đều tách được trên F. Chúng ta cần chứng minh rằng a + b và a * b cũng tách được trên F. Để làm điều này, chúng ta sử dụng một kết quả quan trọng từ lý thuyết trường:
**Định lý:** Nếu E/F và K/E là các mở rộng tách được, thì K/F cũng là một mở rộng tách được.
Xét trường F(a, b). Vì a tách được trên F, nên F(a)/F là một mở rộng tách được. Vì b tách được trên F, nên nó cũng tách được trên F(a). Do đó, F(a, b)/F(a) là một mở rộng tách được. Áp dụng định lý trên, F(a, b)/F là một mở rộng tách được. Vì a + b và a * b thuộc F(a, b), nên chúng cũng tách được trên F. Vậy, a + b và a * b thuộc S.
Giả sử a thuộc S và a khác 0. Điều này có nghĩa là a tách được trên F. Chúng ta cần chứng minh rằng a-1 cũng tách được trên F. Xét trường F(a). Vì a tách được trên F, nên F(a)/F là một mở rộng tách được. Vì a-1 thuộc F(a), nên nó cũng tách được trên F. Vậy, a-1 thuộc S.
Chúng ta đã chứng minh rằng S chứa 0 và 1, đóng với phép cộng, phép nhân và phép lấy nghịch đảo. Do đó, S là một trường con của K. Vậy, tập hợp các phần tử tách được trong một mở rộng trường K/F tạo thành một trường con của K.
Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm tính tách được và cấu trúc của các mở rộng trường. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết Galois và các lĩnh vực liên quan trong đại số trừu tượng.
Bài viết liên quan