Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm cấu trúc T (t-structure) trong phạm trù tam giác, một công cụ mạnh mẽ cho phép chúng ta định nghĩa các phạm trù abel từ phạm trù tam giác. Chúng ta sẽ khám phá các tiên đề của cấu trúc T, cách nó tổng quát hóa khái niệm độ trong phức hợp xích, và ứng dụng quan trọng của nó trong việc định nghĩa các bó perverse, đối tượng trung tâm trong nghiên cứu về hình học đại số.
Trong phạm trù tam giác, một phạm trù có cấu trúc phong phú hơn phạm trù abel thông thường, cấu trúc T (t-structure) cho phép chúng ta chọn ra hai phạm trù con đặc biệt: `D≤0` (các đối tượng có "độ âm hoặc bằng 0") và `D≥0` (các đối tượng có "độ dương hoặc bằng 0"). Hai phạm trù con này thỏa mãn các tiên đề sau:
Các tiên đề này thoạt nhìn có vẻ trừu tượng, nhưng chúng giúp ta mô hình hóa một cách chính xác khái niệm "độ" trong phức hợp xích, và từ đó xây dựng các phạm trù abel hữu ích.
Ví dụ điển hình nhất về cấu trúc T (t-structure) là trên phạm trù dẫn xuất `D(A)` của một phạm trù abel `A`. Ở đây, `D≤0` bao gồm các phức hợp có đối đồng điều bằng 0 ở độ dương, và `D≥0` bao gồm các phức hợp có đối đồng điều bằng 0 ở độ âm. Có thể chứng minh rằng các tiên đề của cấu trúc T (t-structure) được thỏa mãn trong trường hợp này.
Một trong những hệ quả quan trọng của việc có một cấu trúc T (t-structure) là sự tồn tại của các hàm cắt cụt (truncation functors) `τ≤n` và `τ≥n`. Hàm `τ≤n` lấy một đối tượng `X` và trả về đối tượng "gần nhất" với `X` nằm trong `D≤n`. Tương tự, `τ≥n` trả về đối tượng "gần nhất" với `X` nằm trong `D≥n`. Các hàm cắt cụt này có tính chất phổ quát: chúng là các adjoint của các hàm bao hàm `D≤n → D` và `D≥n → D`.
Việc tồn tại và tính chất phổ quát của các hàm cắt cụt giúp ta phân tích cấu trúc của các đối tượng trong phạm trù tam giác một cách hiệu quả hơn.
Điểm mấu chốt của cấu trúc T (t-structure) là giao của `D≤0` và `D≥0`, ký hiệu là `C = D≤0 ∩ D≥0`, tạo thành một phạm trù abel. Phạm trù `C` được gọi là "trái tim" (heart) của cấu trúc T (t-structure). Đây là một kết quả sâu sắc và bất ngờ, vì ta bắt đầu với một phạm trù tam giác, một cấu trúc phi abel, và sử dụng cấu trúc T (t-structure) để "lọc" ra một phạm trù abel.
Ví dụ, trong trường hợp phạm trù dẫn xuất `D(A)` với cấu trúc T (t-structure) chuẩn, "trái tim" chính là phạm trù abel `A` ban đầu.
Ứng dụng quan trọng nhất của cấu trúc T (t-structure) là trong lý thuyết về bó perverse (perverse sheaves). Cho một không gian tôpô phân tầng, ta có thể định nghĩa một cấu trúc T (t-structure) "perverse" trên phạm trù dẫn xuất của các bó trên không gian đó. "Trái tim" của cấu trúc T perverse này là phạm trù của các bó perverse.
Điều thú vị là, mặc dù các bó perverse được định nghĩa như là các phức hợp, chúng thực sự tạo thành một phạm trù abel. Các bó perverse đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm lý thuyết biểu diễn, lý thuyết Hodge, và lý thuyết số học.
Cấu trúc T (t-structure) là một công cụ trừu tượng nhưng vô cùng mạnh mẽ trong phạm trù tam giác. Nó cho phép ta định nghĩa các phạm trù abel "tự nhiên" từ các phạm trù tam giác, và có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Việc hiểu rõ về cấu trúc T là chìa khóa để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như bó perverse và lý thuyết dẫn xuất nâng cao.
Bài viết liên quan