Bài viết này sẽ giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến bảo mật thông tin. Giả sử chúng ta cần xây dựng một hệ thống khóa cho một tủ đựng tài liệu mật, sao cho chỉ khi có một số lượng người nhất định trở lên mới có thể mở được. Mục tiêu là tìm ra số lượng khóa tối thiểu cần thiết để đáp ứng yêu cầu này. Bài viết sẽ trình bày lời giải chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững các khái niệm toán học liên quan.
Hãy tưởng tượng có 11 nhà khoa học đang làm việc trong một dự án bí mật. Họ muốn cất giữ tài liệu trong một tủ khóa. Yêu cầu đặt ra là: Cần lắp nhiều ổ khóa trên tủ, và phân phối chìa khóa sao cho nếu có bất kỳ 6 nhà khoa học nào có mặt, họ có thể mở tất cả các ổ khóa. Nhưng nếu chỉ có 5 người, họ không thể mở được tất cả các ổ khóa. Câu hỏi là: Số lượng ổ khóa tối thiểu cần thiết là bao nhiêu?
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể xem xét trường hợp tổng quát hơn. Giả sử có S nhà khoa học và chúng ta muốn M nhà khoa học không thể mở tủ, nhưng nhiều hơn M nhà khoa học thì có thể. Vậy cần bao nhiêu ổ khóa?
Với mỗi tập hợp M nhà khoa học (gọi là M-tập hợp), họ sẽ thiếu chìa khóa của một ổ khóa nào đó. Hơn nữa, hai M-tập hợp khác nhau sẽ có một nhà khoa học không chung nhau, do đó hợp của chúng sẽ có nhiều hơn M nhà khoa học. Nếu hai M-tập hợp thiếu cùng một chìa khóa, thì hợp của chúng cũng sẽ thiếu chìa khóa đó, điều này mâu thuẫn với yêu cầu là nhiều hơn M nhà khoa học phải mở được tủ.
Do đó, chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ từ mỗi ổ khóa đến M-tập hợp mà tập hợp đó thiếu chìa khóa của ổ khóa đó. Không thể có nhiều hơn một M-tập hợp thiếu chìa khóa của cùng một ổ khóa. Nếu một M-tập hợp ánh xạ đến nhiều hơn một ổ khóa, chúng ta có thể loại bỏ tất cả các ổ khóa đó, chỉ giữ lại một ổ, M-tập hợp đó vẫn không thể mở tủ. Vậy nên số lượng ổ khóa tối thiểu là số lượng các M-tập hợp.
Số lượng các M-tập hợp là tổ hợp chập M của S, ký hiệu là C(S, M) hoặc (S choose M). Công thức tính là: N = C(S, M) = S! / (M! * (S-M)!).
Giả sử có nhiều hơn N ổ khóa. Chúng ta có thể loại bỏ các ổ khóa dư thừa mà không ảnh hưởng đến điều kiện của bài toán. Bởi vì nếu loại bỏ một ổ khóa, bất kỳ nhóm nhà khoa học nào có thể mở tủ trước đó vẫn có thể mở được, và các M-tập hợp vẫn không thể mở được vì họ vẫn thiếu chìa khóa từ N ổ khóa còn lại. Vì vậy, số lượng ổ khóa N = C(S, M) là số lượng tối thiểu cần thiết.
Trong trường hợp 11 nhà khoa học và yêu cầu 5 người không thể mở tủ, ta có S = 11 và M = 5. Số lượng ổ khóa cần thiết là:
N = C(11, 5) = 11! / (5! * 6!) = (11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 462
Vậy, số lượng ổ khóa tối thiểu cần thiết là 462.
Mỗi nhà khoa học cần mang bao nhiêu chìa khóa? Một cách tiếp cận là mỗi nhà khoa học sẽ không có chìa khóa mở C(S-1, M-1) ổ khóa. Số chìa khóa mỗi nhà khoa học có là tổng số khóa trừ số khóa họ không có.
Trong trường hợp cụ thể, mỗi nhà khoa học sẽ không có chìa khóa của C(10, 4) = 210 ổ khóa. Suy ra, mỗi nhà khoa học cần có 462 - 210 = 252 chìa khóa.
Bài toán này minh họa cách ứng dụng các khái niệm tổ hợp trong việc thiết kế hệ thống bảo mật. Bằng cách tính toán số lượng tổ hợp các nhóm người không được phép mở khóa, ta có thể xác định số lượng khóa tối thiểu cần thiết để đảm bảo an toàn cho thông tin.
Bài viết liên quan