Bài viết này đi sâu vào việc xây dựng và phân tích **topology** trên nhóm **tự đẳng cấu** của một cây, ký hiệu là **Aut(Tq)**. Chúng ta sẽ khám phá các tập mở được định nghĩa như thế nào, cách chứng minh các tính chất cơ bản của một topology, và những khó khăn thường gặp khi làm việc với các **tập vô hạn**. Nếu bạn đang học về **topology** hoặc **lý thuyết nhóm**, bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn sâu sắc và dễ hiểu về một chủ đề phức tạp.
Chúng ta định nghĩa **topology** trên **Aut(Tq)** thông qua các tập mở cơ sở. Cụ thể, một tập mở cơ sở có dạng U(g, S), trong đó *g* là một tự đẳng cấu của cây *Tq*, và *S* là một tập hữu hạn các đỉnh của *Tq*. Tập U(g, S) bao gồm tất cả các tự đẳng cấu *h* của *Tq* sao cho *h(x) = g(x)* với mọi *x* thuộc *S*. Điều này có nghĩa là, trong tập U(g, S), các tự đẳng cấu *h* phải "trùng" với *g* trên tập các đỉnh *S*.
Ví dụ, nếu *S* là tập rỗng, thì *U(g, ∅)* sẽ chứa tất cả các tự đẳng cấu *h* thỏa mãn điều kiện *h(x) = g(x)* với mọi *x* thuộc tập rỗng. Điều này luôn đúng, vì vậy *U(g, ∅) = Aut(Tq)*. Đây là một điểm khởi đầu quan trọng để chứng minh rằng **Aut(Tq)** nằm trong **topology** này.
Để chứng minh rằng định nghĩa trên thực sự tạo ra một **topology**, chúng ta cần chứng minh ba tính chất chính:
Như đã đề cập ở trên, ta có *U(g, ∅) = Aut(Tq)* với mọi *g* thuộc **Aut(Tq)**. Vì *U(g, ∅)* là một tập mở theo định nghĩa, **Aut(Tq)** cũng là một tập mở. Chứng minh này khá đơn giản nhưng quan trọng để thiết lập cơ sở cho **topology**.
Xét hai tập mở *U(g1, S1)* và *U(g2, S2)*. Giao của chúng là tập hợp các tự đẳng cấu *h* sao cho *h(x) = g1(x)* với mọi *x* thuộc *S1* và *h(x) = g2(x)* với mọi *x* thuộc *S2*. Để giao này khác rỗng, ta phải có *g1(x) = g2(x)* với mọi *x* thuộc *S1 ∩ S2*. Nếu điều này xảy ra, ta có thể định nghĩa *S = S1 ∪ S2* và một tự đẳng cấu *g* sao cho *g(x) = g1(x)* với *x ∈ S1* và *g(x) = g2(x)* với *x ∈ S2*. Khi đó, *U(g1, S1) ∩ U(g2, S2) = U(g, S)*, và vì *S* là hữu hạn, *U(g, S)* là một tập mở. Quá trình này có thể được mở rộng cho giao của bất kỳ số hữu hạn nào các tập mở.
Chứng minh rằng hợp của một số tùy ý các tập mở là một tập mở lại phức tạp hơn. Vấn đề là, hợp của các tập mở có dạng *U(gn, Sn)* không nhất thiết có thể được viết lại dưới dạng *U(g, S)* với *S* hữu hạn. Điều này có nghĩa là, tập hợp kết quả có thể không thỏa mãn định nghĩa của một tập mở trong **topology** của chúng ta.
Ví dụ, xét hai cạnh của cây *Tq* chia sẻ một đỉnh *v*: *u---v---w*. Giả sử *S1 = {u, v}*, *S2 = {v, w}*, và *g1, g2* là các tự đẳng cấu sao cho *g1(u) = v*, *g1(v) = w*, *g2(w) = v*, và *g2(v) = u*. Có thể chứng minh rằng *g1(x) ≠ g2(x)* với mọi đỉnh *x* thuộc *Tq*. Khi đó, hợp của *U(g1, S1)* và *U(g2, S2)* không thể được viết dưới dạng *U(g, S)* với bất kỳ *g* và *S* nào.
Điều quan trọng cần hiểu là tập *B = {U(g, S) | g ∈ Aut(Tq), S ⊂ Tq là một tập hữu hạn các đỉnh}* không phải là một **topology** mà là một cơ sở cho một **topology**. Một **cơ sở** cho một **topology** là một tập hợp các tập mở sao cho mọi tập mở trong **topology** có thể được viết dưới dạng hợp của các tập trong **cơ sở**.
Trong trường hợp này, **topology** được sinh bởi **cơ sở** *B* bao gồm tất cả các tập hợp có thể được viết dưới dạng hợp của các tập *U(gn, Sn)*. Điều này bao gồm cả tập rỗng (hợp của một tập rỗng các tập mở) và toàn bộ không gian **Aut(Tq)**. Việc chứng minh rằng giao của hai phần tử bất kỳ của *B* lại là một phần tử của *B* cho thấy rằng *B* thực sự là một **cơ sở** cho **topology** này.
Bài viết này đã trình bày một cách tiếp cận chi tiết để xây dựng và phân tích **topology** trên nhóm **tự đẳng cấu** của cây **Aut(Tq)**. Chúng ta đã thấy cách định nghĩa các tập mở cơ sở, cách chứng minh các tính chất cơ bản của một **topology**, và cách vượt qua những khó khăn liên quan đến việc chứng minh tính đóng kín dưới phép hợp vô hạn. Quan trọng hơn, chúng ta đã phân biệt giữa một **cơ sở** cho một **topology** và chính **topology** đó. Hiểu rõ những khái niệm này là rất quan trọng để làm việc với **topology** trong nhiều lĩnh vực của toán học.
Bài viết liên quan