Bài toán đổi tiền, hay còn gọi là "change-making problem", là một ví dụ điển hình trong lĩnh vực tối ưu hóa. Mục tiêu là tìm ra số lượng tối thiểu các đồng xu (hoặc tiền giấy) với mệnh giá cho trước để tạo thành một số tiền cụ thể. Thuật toán tham lam (Greedy Algorithm) là một phương pháp tiếp cận trực quan, nhưng liệu nó có luôn đưa ra giải pháp tối ưu? Bài viết này sẽ đi sâu vào vấn đề này, khám phá những trường hợp thuật toán tham lam hoạt động tốt, cũng như những tình huống cần đến các phương pháp phức tạp hơn như quy hoạch động (Dynamic Programming).
Thuật toán tham lam hoạt động bằng cách chọn đồng xu (hoặc tiền giấy) có mệnh giá lớn nhất mà không vượt quá số tiền còn lại cần đổi. Quá trình này lặp lại cho đến khi số tiền cần đổi bằng 0. Về cơ bản, thuật toán "tham" lấy đi lựa chọn tốt nhất ở mỗi bước, hy vọng rằng điều này sẽ dẫn đến giải pháp tốt nhất tổng thể.
Ví dụ, với bộ tiền tệ {1, 5, 10, 25} (tương ứng 1 xu, 5 xu, 10 xu, 25 xu), nếu cần đổi 41 xu, thuật toán tham lam sẽ hoạt động như sau:
Kết quả là 4 đồng xu (25 + 10 + 5 + 1), đây là giải pháp tối ưu trong trường hợp này.
Thuật toán tham lam không phải lúc nào cũng đúng. Nó chỉ đảm bảo tìm ra giải pháp tối ưu khi bộ tiền tệ có tính chất "canonical". Một bộ tiền tệ được gọi là canonical nếu thuật toán tham lam luôn cho ra kết quả tối ưu cho mọi số tiền cần đổi. Hầu hết các hệ thống tiền tệ thực tế, như đô la Mỹ hoặc euro, đều có tính chất này.
Vậy điều gì làm cho một bộ tiền tệ trở thành canonical? Rất khó để đưa ra một điều kiện đơn giản và tổng quát. Tuy nhiên, một số điều kiện đủ (nhưng không cần) có thể được xác định. Ví dụ:
Thuật toán tham lam có thể thất bại khi bộ tiền tệ không phải là canonical. Điều này có nghĩa là có ít nhất một số tiền mà thuật toán tham lam sẽ không đưa ra giải pháp tối ưu.
Ví dụ, xét bộ tiền tệ {1, 3, 4}. Nếu cần đổi 6, thuật toán tham lam sẽ chọn 1 đồng 4 và 2 đồng 1 (tổng cộng 3 đồng). Tuy nhiên, giải pháp tối ưu là 2 đồng 3 (tổng cộng 2 đồng).
Một ví dụ khác thường được sử dụng là bộ tiền tệ {1, 15, 25}. Để đổi 30, thuật toán tham lam sẽ sử dụng một đồng 25 và năm đồng 1 (tổng cộng 6 đồng). Giải pháp tối ưu là sử dụng hai đồng 15 (tổng cộng 2 đồng).
Sử dụng thuật toán tham lam khi nó không phù hợp có thể dẫn đến kết quả không tối ưu, tốn nhiều tài nguyên hơn (ví dụ: số lượng đồng xu lớn hơn), hoặc thậm chí không tìm ra giải pháp nào cả.
Khi thuật toán tham lam không còn đáng tin cậy, quy hoạch động (Dynamic Programming) là một lựa chọn mạnh mẽ hơn. Quy hoạch động xây dựng một bảng các giải pháp tối ưu cho các bài toán con nhỏ hơn, sau đó kết hợp chúng để tìm ra giải pháp cho bài toán lớn hơn.
Quy hoạch động đảm bảo tìm ra giải pháp tối ưu cho bài toán đổi tiền, bất kể bộ tiền tệ là gì. Tuy nhiên, nó có thể tốn kém hơn về mặt tính toán, đặc biệt đối với các số tiền lớn hoặc bộ tiền tệ phức tạp.
Để minh họa, ta có thể sử dụng phương pháp tiếp cận "bottom-up" (từ dưới lên). Chúng ta bắt đầu bằng cách xây dựng một bảng chứa số lượng đồng xu tối thiểu cần thiết để đổi từng số tiền từ 0 đến số tiền mục tiêu. Sau đó, ta lặp qua bảng, tính toán số lượng đồng xu tối thiểu cần thiết cho mỗi số tiền bằng cách xem xét tất cả các mệnh giá có thể.
Mặc dù chi tiết triển khai cụ thể nằm ngoài phạm vi bài viết này, nhưng bạn có thể tìm thấy nhiều ví dụ về mã nguồn quy hoạch động cho bài toán đổi tiền trên internet.
Thuật toán tham lam là một công cụ hữu ích cho bài toán đổi tiền, nhưng nó không phải là "viên đạn bạc". Điều quan trọng là phải hiểu khi nào nó hoạt động và khi nào cần sử dụng các phương pháp phức tạp hơn như quy hoạch động. Việc lựa chọn thuật toán phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của bộ tiền tệ và yêu cầu về hiệu suất của ứng dụng.
Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc hơn về thuật toán tham lam và những hạn chế của nó trong bài toán đổi tiền. Hãy luôn cân nhắc kỹ lưỡng trước khi áp dụng bất kỳ thuật toán nào vào thực tế!
Bài viết liên quan