Thay Đổi Biến Trong Tích Phân Lebesgue-Stieltjes: Ứng Dụng và Chứng Minh Chi Tiết

Bài viết này sẽ đi sâu vào một kỹ thuật quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân: thay đổi biến trong tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp đặc biệt khi hàm tích phân (integrator) có tính chất càdlàg (right continuous with left limits) và có các điểm gián đoạn. Kỹ thuật này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết xác suất, quá trình ngẫu nhiên và phương trình vi phân стохастический.

Bài Toán và Ý Nghĩa

Giả sử chúng ta có một hàm D(t) không giảm và càdlàg trên [0, ∞), ví dụ như một subordinator ổn định alpha, với một số lượng hữu hạn hoặc đếm được các điểm gián đoạn. Định nghĩa hàm ngược phải liên tục của nó là Y(t) = inf{u ≥ 0 : D(u) > t}. Mục tiêu là chứng minh công thức thay đổi biến sau cho mọi hàm đo được không âm g:

∫₀^∞ g(t) dY(t) = ∫₀^∞ g(D(s)) ds

Công thức này cho phép chúng ta chuyển đổi một tích phân theo độ đo Stieltjes dY(t) thành một tích phân Lebesgue thông thường theo ds, điều này có thể đơn giản hóa việc tính toán và phân tích trong nhiều trường hợp.

Chứng Minh Bằng Định Lý Lớp Đơn Điệu

Một cách tiếp cận để chứng minh công thức trên là sử dụng Định lý Lớp Đơn điệu. Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng đẳng thức trên đúng cho một lớp các hàm đơn giản, sau đó mở rộng nó cho các hàm đo được không âm tổng quát.

**Bước 1: Xây dựng độ đo đẩy tới (Pushforward measure)**. Gọi λ là độ đo Lebesgue trên R. Ta định nghĩa độ đo đẩy tới D_*λ trên các khoảng (a, b] như sau:

D_*λ((a, b]) = λ(D^-1((a, b]))

**Bước 2: Chứng minh đẳng thức độ đo**. Cần chứng minh rằng D_*λ = dY trên các tập Borel B((0, ∞)). Điều này có nghĩa là độ đo đẩy tới D_*λ trùng với độ đo Lebesgue-Stieltjes được sinh ra bởi hàm Y.

**Bước 3: Tính toán trên khoảng**. Với 0 ≤ a < b < ∞, ta có:

• I_a,b := D^-1((a, b]) là một khoảng do tính đơn điệu của D.
• D_*λ((a, b]) = λ(I_a,b) = sup I_a,b - inf I_a,b.

Chứng minh sup và inf

Ta cần chứng minh:

• sup I_a,b = Y(b)
• inf I_a,b = Y(a)

Chứng minh inf I_a,b = Y(a) hoàn toàn tương tự như chứng minh đẳng thức đầu tiên, vì vậy ta bỏ qua. Để chứng minh sup I_a,b ≤ Y(b) Ta thấy rằng với mọi x ∈ I_a,b, D(x) ≤ b, và do đó x ≤ Y(D(x)) ≤ Y(b). Giả sử ngược lại, sup I_a,b < Y(b). Khi đó tồn tại x₀ ∈ (sup I_a,b, Y(b)). Sử dụng tính đơn điệu của D và định nghĩa của Y, ta có b < D(x₀) ≤ b, một mâu thuẫn.

Hoàn Thành Chứng Minh

Bây giờ, D_*λ((a, b]) = Y(b) - Y(a). Vì D_*λ và dY là hai độ đo σ-hữu hạn trùng nhau trên hệ π { (a, b] : 0 ≤ a < b < ∞ } sinh ra B((0, ∞)), nên chúng bằng nhau.

**Bước 4: Áp dụng Định lý Lớp Đơn điệu**. Vì đẳng thức ∫₀^∞ g(t) dY(t) = ∫₀^∞ g(D(s)) ds đúng cho các hàm chỉ thị của các khoảng (a, b], nó cũng đúng cho các tổ hợp tuyến tính của chúng, và do đó cho tất cả các hàm đo được không âm nhờ Định lý Lớp Đơn điệu.

Tham Khảo

Bạn có thể tìm thêm thông tin chi tiết trong cuốn sách của Bogachev, mặc dù Định lý 3.6.1 trong đó có vẻ gần nhưng không hoàn toàn giải quyết bài toán này. Các bài viết liên quan đến tích phân Lebesgue-Stieltjes, lý thuyết độ đo, quá trình стохастический, thay đổi biến, và quá trình Lévy cũng có thể hữu ích.